Структурные схемы цифровых фильтров. Гребенчатые фильтры подавления и накопления, их характеристики и применение в устройстве цифровой обработки рлс.
Структурная схема и временные диаграммы цифрового фильтра:
УД — устройство дискретизации, преобразующее аналоговый сигнал x(t) в последовательность импульсов (решётчатую функцию) x*(t);
АЦП — аналогово-цифровой преобразователь, с помощью которого мгновенные значения аналогового сигнала заменяются ближайшими дискретными уровнями Х(n × Т), где n = 0, 1, 2..., T — период следования импульсов;
ВУ — вычислительное устройство, преобразующее последовательность чисел (уровней) Х(nТ) в выходную функцию Y(nТ);
ЦАП — цифро-аналоговый преобразователь, в котором Y(nT) преобразуется в выходной аналоговый сигнал y(t).
Линейная цифровая система описывается уравнением свертки
|
(2.1) |
,
где x[n] -
входная выборка, y[n] -
выходная выборка, 
-
импульсная характеристика системы.
Передаточная функция линейной цифровой
системы определяется выражением
|
(2.2a) |
,где
-
z-преобразования входной и выходной
выборок сигнала. Если умножить обе части
равенства (2.1) на 
и
просуммировать по n,
можно получить выражение для передаточной
функции линейной цифровой системы в
виде
|
(2.2б) |
,где - импульсная характеристика системы.
Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной цифровой системы часто записывается в виде неравенства для импульсной характеристики системы
|
(2.3) |
.Линейная цифровая система является физически реализуемой, если =0 при l<0.
Цифровые устройства, выполняющие преобразования вида (2.1) называются линейными цифровыми фильтрами. Линейный цифровой фильтр является финитной линейной цифровой системой, и, в общем случае, описывается уравнением
|
(2.4) |
,
где {
, 
} -
коэффициенты фильтра. Обычно линейные
цифровые фильтры подразделяют на фильтры
низких частот, фильтры высоких частот,
полоснопропускающие и полоснозаграждающие
(режекторные) фильтры, амплитудные и
фазовые фильтры-корректоры, гребенчатые
фильтры и др. Первые четыре типа фильтров
называют основными или базовыми типами
фильтров. По своей конструкции линейные
цифровые фильтры разделяют на рекурсивные
и нерекурсивные (трансверсальные)
фильтры. Коэфициенты трансверсальных
фильтров или фильтров с конечной
импульсной характеристикой (КИХ-фильтров)
удовлетворяют условиям:
{
=1,
=0 для
всех i#0}.
Цифровые фильтры, которые не являются трансверсальными, называются рекурсивными или фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтрами).
Передаточная функция линейного цифрового фильтра (2.4) имеет вид
|
(2.5) |
.Многочлены стоящие в числителе и знаменателе этого выражения можно представить в виде произведения и переписать передаточную функцию линейного цифрового фильтра (2.4) в следующем виде
|
(2.6) |
.Условие устойчивости линейного цифрового фильтра обычно записывают в виде неравенства:
,
i=0,1,...,I ,
т. е. полюса передаточной функции
цифрового фильтра должны лежать внутри
окружности единичного радиуса. Положение
нулей передаточной функции {
}
на устойчивость фильтра не влияет,
однако условие
| | ‹ 1, l=0,1,...,L
определяет минимально-фазовый цифровой фильтр.
Частотная
характеристика цифрового
фильтра H(w)соответствует
передаточной функции фильтра H(z) при 
,
где T -
интервал дискретизации, w =
2*3.14...*f -
круговая частота. Поскольку экспоненциальная
функция мнимого аргумента
является
периодической функцией частоты с
периодом W =
2*3.14.../T,
то частотная характеристика цифрового
фильтра H(w) также
является периодической функцией частоты
с периодом W.
Вычисление коэффициентов цифрового фильтра удовлетворяющего заданным условиям принято называть проектированием (синтезом) фильтра, а устройство или программу, которая осуществляет преобразование цифровых сигналов - реализацией фильтра.
Постановка задачи проектирования цифрового фильтра следующая: априори задан модуль или квадрат модуля желаемой частотной характеристики фильтра. Требуется найти коэффициенты фильтра, квадрат модуля частотной характеристики которого удовлетворительно аппроксимирует квадрат модуля желаемой частотной характеристики при заданных ограничениях. В частности, такими ограничениями могут являться: тип фильтра, число коэффициентов (порядок) фильтра, ошибка аппроксимации и др. Ниже рассматриваются способы конструирования некоторых типов цифровых фильтров.
Устройство реализующее цифровой фильтр выполняет последовательное умножение входной и/или выходной выборки сигнала на коэффициенты фильтра и сложение полученных произведений. Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра 2-го порядка показана на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема линейного цифрового фильтра 2-го порядка.
Цифровые фильтры более высоких порядков можно реализовать несколькими способами. Наиболее простым способом является так называемая прямая форма реализации цифрового фильтра. В прямой форме цифровые фильтры реализуют в соответствии с формулой (2.5). Структурная схема цифрового фильтра в этом случае аналогична схеме, показанной на рис.1, но имеет большее число линий задержек и умножителей.
Другим способом реализации цифровых фильтров является каскадная форма. При реализации цифрового фильтра в каскадной форме, цифровой фильтр представляют в виде последовательности следующих друг за другом цифровых фильтров 1-го или 2-го порядка.
Гребенчатый фильтр — фильтр, при прохождении сигнала через который, к нему добавляется он сам с некоторой задержкой. В результате получается фазовая компенсация. АЧХ гребенчатого фильтра состоит из ряда равномерно распределённых пиков, так что он выглядит как решётка. Выделяют гребенчатые фильтры накопления (ГФН) и гребенчатые фильтры подавления (ГФП).
Uвых = Uвх(t) + β Uвых(t − T)
ЧХ = Uвых / Uвх = k(w)
Uвых(t) = Uвх(t) + β Uвых(t) × e^(-jwT)
K = 1 + β K × e^(-jwT)
K = 1 / (1 − β × e^(-jwT))
f = 0; K = 1/ (1 − β)