3. Сходящиеся силы. Равнодействующая сходящихся сил. Геометрическое и аналитическое условия равновесия. Теорема о трех силах.

Систе́масходя́щихся сил — это такая система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, в которой линии действия всех сил сходятся в одной точке.

Плоская система сил – система сил линия действия которой паралельна одной плоскости

Система параллельных сил – линия действия параллельны

Пространственная система сил– линия действия сил параллельно расположена

Теорема о 3х силах – если тело находится в равновесии под действием 3х не параллельных сил то линии действия этих сил сходятся в одной точке .

Система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения.

4. Момент силы относительно центра (точки). Пара сил. Момент пары. Приведение произвольной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент произвольной системы сил.

Момент силы – это произведение силы на плечо

- если вращение по часовой

+ если против часовой

Пара сил – это 2 силы равные по величине , противоположно направление на параллельных прямых.

.

Приведение плоской системы сил к данному центру

Пусть на тело действует система произвольно направленных, лежащих в одной плоскости сил .

Выберем в плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения и перенесем в эту точку все силы (рис. 29, а )

В результате получим новую систему сил:

с моментами присоединенных пар:

Систему сил перенесенную в точку О заменим одной силой приложенной в той же точке О:

Сложение пар дает одну пару с моментом:

Вектор , равный геометрической сумме всех сил называют главным вектором системы. Величину , равную сумме всех моментов относительно центра О, называют главным моментом системы относительно центра О.

5. Плоская система сил. Условия равновесия произвольной плоской системы сил и их различные формы.

Плоская система сил – система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

Как известно, любую плоскую систему сил можно привести к главному вектору R_гл и главному моменту М_гл .

Если же система сил уравновешена (тело, находящееся под действием такой системы сил, либо неподвижно, либо равномерно вращается около неподвижной оси, либо находится в равномерном и прямолинейном поступательном движении), то R_гл=0 и M_гл=0 (Е. М. Никитин, § 29). Эти равенства выражают два необходимых и достаточных условия равновесия любой системы сил.

Для произвольной плоской системы сил из этих двух условий непосредственно получаем три уравнения равновесия: ∑ X_i = 0; ∑ Y_i = 0; ∑ M₀(P_i) = 0.

Первая форма условий равновесия

Для равновесия произвольной плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор R этих сил и их главный момент M_o относительно произвольной точки O, лежащей в плоскости действия этих сил, были равны нулю, т.е.

                   ΣF_k = 0,   ΣM_o(F_k) = 0  (1.3)

В координатной форме эти условия выражаются следующими тремя уравнениями:

              ΣF_kx = 0,    ΣF_ky = 0,    ΣM_o(F_k) = 0.  (1.4)

Уравнения (1.4) носят название первой формы условий равновесия для произвольной плоской системы сил.

Вторая форма условий равновесия (теорема о трех моментах)

Теорема о трех моментах – алгебраическая сумма моментов сил относительно трех произвольных точек A,B,C, не лежащих на одной прямой, равна нулю, т.е.

ΣM_A(F_k) = 0,    ΣM_B(F_k) = 0,  ΣM_C(F_k) = 0; (1.5)

  Необходимость этих условий очевидна, т.к. если плоская система сил находится в равновесии, то выполняется первая форма условий равновесия (1.4).

  А тогда из последнего равенства (1.4) следует, что сумма моментов всех сил относительно любой точки, следовательно, и точек А, В, С равняется нулю, т.е. выполняются условия (1.5).

  Достаточность условий (1.5) следует из того, что если выполняются условия (1.5), а данная система сил не находится в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В, С.

  Это невозможно, т.к. точки А, В, С не лежат на одной прямой. Следовательно, если выполняются условия (1.5), то имеет место равновесие.

Третья форма условий равновесия – алгебраическая сумма моментов всех сил относительно двух любых точек A и B равна нулю и сумма проекций этих сил на ось  Ox, не перпендикулярную к прямой, проходящей через точки A  и B , равна нулю, т.е.

              ΣM_A(F_k) = 0,    ΣM_B(F_k) = 0,    ΣF_kx= 0.   (1.6)      

Необходимость этих условий, так же как и в предыдущем случае, следует из первой формы условий равновесия. Докажем их достаточность, т.е. докажем, что если выполняются условия (1.6), то рассматриваемая система находится в равновесии.

Выполнение первых двух условий (1.6) означает, что главный момент данной системы сил относительно центров приведения А и В равен нулю. Такая система может иметь равнодействующую, приложенную в центре приведения, и при R*¹0 линия действия равнодействующей проходит через точки А и В (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Но по третьему условию из (1.6) проекция равнодействующей на ось Оx равна нулю. Так как ось Оx (рис.2) не перпендикулярна АВ, то это последнее условие может быть выполнено только в случае, если R*=0, т.е. когда рассматриваемая система сил уравновешена.

В частном случае, если линии действия всех сил плоской системы параллельны (плоская система параллельных сил), то условия равновесия таких сил выражаются не тремя, а двумя уравнениями:

                    ΣF_kx = 0,    ΣM_o(F_k) = 0, (1.7)

причем ось Ox  параллельна данным силам, или

                  ΣM_A(F_k) = 0,     ΣM_B(F_k) = 0,    (1.8)  

причем прямая AB не параллельна данным силам.