2.4.2. Характеристики варіації

Розглянуті вище характеристики центра статистичної сукупності тим більше характерні для даного розподілу, чим ближче групуються спостереження навколо середньої арифметичної, тобто чим менш вони розсіяні. Тому середні характеристики повинні бути доповнені виміром варіації ознаки щодо середньої, тобто характеристиками мінливості значень ознаки, що спостерігалася.

Мірою варіації повинне бути число, що обчислюється на основі елементів ряду розподілу й задовольняє наступним вимогам:

- значення даного показника має бути малим, якщо елементи ряду мало відрізняються одне від одного, і повинне бути більшим, якщо елементи ряду сильно розсіяні;

- значення показника не повинне залежати від числа елементів ряду, тобто воно не має зростати тільки в результаті збільшення числа елементів ряду;

- показник не повинен залежати від середньої, а відображати розкид елементів навколо її.

Найпростішим вимірником варіації є розмах варіювання ­­­­­R, тобто різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки: . Розмах варіювання дає лише наближене уявлення про варіацію ознаки й, крім того, на крайні значення ряду розподілу можуть впливати різні випадкові фактори, що робить їх досить ненадійними.

Вище відзначалося, що найбільший інтерес представляє угруповання значень ознаки біля середньої арифметичної. Відхилення спостережуваних значень ознаки від середньої арифметичної визначають різниці (x_i– ­­­­­­­­­­). Однак сума відхилень не може бути мірою розсіювання ознаки, тому що по властивості 1 середньої арифметичної ця сума завжди дорівнює нулю. Для усунення впливу знака відхилень переходять або до абсолютних величин відхилень, або до квадратів відхилень, одержуючи при цьому різні характеристики варіації ознаки.

Середнє лінійне відхилення. Середнім лінійним відхиленням називається середня арифметична абсолютних величин відхилень спостережуваних значень ознаки від середньої арифметичної:

,

де , – спостережувані значення ознаки, n – об'єм сукупності.

Якщо за спостереженнями побудований варіаційний ряд, то застосовують формулу:

де , – варіанти ознаки в дискретному або середини інтервалів в інтервальному рядах, – відповідні частоти, k – кількість варіантів або інтервалів, n – об'єм сукупності.

Дисперсія вибірки. Дисперсією називається середня арифметична квадратів відхилень спостережуваних значень ознаки від середньої арифметичної:

, (2.3)

де , – спостережувані значення ознаки, n – об'єм сукупності.

Якщо за спостереженнями побудований варіаційний ряд, то застосовують формулу:

, (2.4)

де , – варіанти ознаки в дискретному або середини інтервалів в інтервальному рядах, – відповідні частоти, k – кількість варіантів або інтервалів, n – об'єм сукупності.

Середнє квадратическое (стандартне) відхилення. При обчисленні дисперсії підсумовуються квадрати відхилень варіантів, у силу чого дисперсія виміряється у квадратах тих одиниць, у яких виміряється досліджувана ознака. Для того, щоб характеристика варіації виражалася в тих же одиницях, що й значення ознаки, використовують корінь квадратний з дисперсії.

Середнім квадратичним (стандартним) відхиленням називається арифметичне значення кореня квадратного з дисперсії:

. (2.5)

Коефіцієнт варіації. ­­­­Для порівняльної оцінки варіації в розподілах з різними значеннями середньої використовується також коефіцієнт варіації­­­­, рівний вираженому у відсотках відношенню середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

. (2.6)

Коефіцієнт варіації дозволяє визначити, наскільки добре середня арифметична представляє всі елементи статистичної сукупності. Якщо V<33%­­­­­­­­­­ , то статистична сукупність є однорідною й середня буде відображати типовий розмір досліджуваної ознаки. Якщо коефіцієнт варіації V>33%­­­­­­­­­­ , то, як правило, можна зробити висновок про неоднорідність статистичної сукупності й середня арифметична не є типовим значенням для всіх елементів. Однак коефіцієнт варіації втрачає смисл при =0­­­­­­­ і стає малонадійним при близьких до нуля значеннях середньої.