22. Простейшие тригонометрические неравенства.

Основной способ решения тригонометрических неравенств состоит в их сведении к неравенствам вида

sinx Ъ a,     cosx Ъ a,     tgx Ъ a,     ctgx Ъ a,

(1)

где a О R, символ "Ъ" означает знак сравнения и заменяет любой из знаков ">",   " ≥ ",   "<",  " ≤" и использовании следующих утверждений.

Утверждение 1. Множество решений неравенства

sinx > a

(2)

есть

R, если a < -1;

(arcsina + 2pk; p - arcsina + 2pk), если -1 ≤ a < 1;

Пустое множество, если a ≥ 1.

Утверждение 2. Множество решений неравенства

sinx < a

(3)

есть

R, если a > 1;

(-p - arcsina + 2pk; arcsina + 2pk), если -1 < a ≤ 1;

Пустое множество, если a ≤ -1.

Утверждение 3. Множество решений неравенства

cosx > a

(4)

есть

R, если a < -1;

(2pk - arccosa; 2pk + arccosa), если -1 ≤ a < 1;

Пустое множество, если a ≥ 1.

Утверждение 4. Множество решений неравенства

cosx < av

(5)

есть

R, если a > 1;

(2pk + arccosa; 2p(k + 1) - arccosa), если -1 < a ≤ 1;

Пустое множество, если a ≤ -1.

Утверждение 5. Множество решений неравенства

tgx > a

(6)

есть 

Утверждение 6. Множество решений неравенства

tgx < a

(7)

есть 

Утверждение 7. Множество решений неравенства

ctgx > a

(8)

есть  (pk; arcctga + pk).

Утверждение 8. Множество решений неравенства

ctgx < a

(9)

есть  (arcctga + pk; p(k + 1))

22. Предел функции в точке. Теоремы о пределах.

24.Предел функции на бесконечности.

25. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов функций.

Неопределенности типа 

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция   имеет неопределенность типа   в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция   содержит неопределенность  , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю. 

Неопределенности типа 

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или −∞. Говорят, что в этом случае функция   имеет в точке a 

неопределенность типа  . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени. 

Неопределенности типа 

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа   и  . 

26. Первый и второй замечательные пределы.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

Рис.2.27.Тригонометрический круг

Пусть   -- площадь треугольника  ,   -- площадь кругового сектора  , а   -- площадь треугольника  . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки   равна  , а вертикальная --   (это высота треугольника  ), так что  . Площадь центрального сектора круга радиуса   с центральным углом   равна  , так что  . Из треугольника   находим, что  . Поэтому  Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на  ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при   предел   в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части  также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что  . Сперва заметим, что  , так как   равняется длине дуги окружности  , которая, очевидно, длиннее хорды  . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при  , получаем, что

(2.3)

Простая замена переменной   показывает, что и  . Теперь заметим, что  . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

(2.4)

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену  ; при этом база   перейдёт в базу   (что означает, что если  , то  ). Значит,

но   (  -- нечётная функция), и поэтому

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.     

• Второй замечательный предел: