28. Определение производной.

Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна  Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v: это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δt → 0, то есть 

Линеаризация функции y = sin x.

Рассмотрим поведение графика функции y = sin x в окрестности точки x = 0. Если увеличивать масштаб графика, то кривизна графика становится все меньше и меньше, а сам график приближается к графику прямой y = x.

Эти и другие задачи приводят к понятию производной.

К определению производной

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки   и существует конечный предел отношения   при Δx → 0. Тогда этот предел называется производной функции в точке 

Производная функции y = f (x) может также обозначаться одним из следующих способов:     В физике производную по времени t часто обозначают точкой: 

Если приращение функции f (x₀ + Δx) – f (x₀) обозначить как Δy, то определение можно записать так: 

Из определения производной и предела функции следует, что 

где α (Δx) – бесконечно малая функция при Δx → 0.

Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.

29. Производная суммы, произведений, частного функций

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

30. Производная сложной функции.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).

Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , причём

31. Производная показательной и логарифмической функции

   Воспользуемся логарифмическим дифференцированием и получим производную показательной функции f (x) = a^x. В соответствии с применяемым правилом, прологарифмируем правую и левую части по натуральному основанию

ln f(x) = ln a^x = x·ln a,

дифференцируя правую и левую части этого равенства, получим

,

откуда найдём

f '(x) = a^x·ln a,

В частном случае a = e производная показательной функции имеет более простой вид

Производная логарифмической функции

Производная натурального логарифма

Производная натурального логарифма функции

Функция заданная формулой вида y=log_ax где a>0; a≠1 называется логарифмической функцией.

Показательная функция-это функция вида y= a^x, где a-заданное число;

a>0 ; a≠1