Закон Стефана-Больцмана

Выше при выводе (Л9) уже использовалось полученное по (Л3) соотношение . Если в него подставить выражение по (Л4) из закона Планка и взять интеграл, то получим формулу закона Стефана-Больцмана:

Поверхностная плотность потока излучения абсолютно чёрного тела пропорциональна четвертой степени температуры :

. (Л10₀)

Для практических расчётов удобнее изменённая форма закона Стефана-Больцмана

, (Л10а)

где – постоянная Стефана-Больцмана, или коэффициент излучения абсолютно чёрного тела.

С учётом (Л8) из (Л10а) для реального тела имеет место

, (Л10b)

где – коэффициент излучения рассматриваемого тела.

Замечание. Форма (Л10а), на первый взгляд, сложнее (Л10₀). Однако рассмотрим пример: для по (Л10₀) будет , что превышает возможности обычного калькулятора и потребует пересчёта порядков: . То есть, и получилась форма (Л10а): при счёте по ней – надо просто перенести запятую в значении на 2 разряда влево.

С распространением “научных” калькуляторов и компьютеров, где используется нормализованная форма представления чисел (с порядком и мантиссой) это стало менее важным, и в некоторых пособиях закон Стефана-Больцмана (и последующие формулы) приводится в форме (Л10₀). Но в практике часто приходится проводить счёт “вручную” (например, на калькуляторе сотового телефона), и форма (Л10а) остаётся целесообразной.

Для реальных тел закон четвертой степени выполняется только приближенно: у металлов степень больше четырёх, у газов – меньше. Но обычно отклонения относят к зависимости (или ) от .

Закон Стефана-Больцмана был установлен экспериментально Й.Стефаном в 1879 г. и теоретически обоснован Л.Больцманом в 1884 г. – ранее закона Планка (1900 г.), но теперь он является его математическим следствием, подобно закону Вина.

Закон Кирхгофа

Этот закон устанавливает связь между способностями тел излучать и поглощать энергию.

Рассмотрим мысленный эксперимент по сопоставлению излучения и поглощения некоторого непрозрачного материала при определённой температуре . Представим систему из двух разделённых вакуумом параллельных пластин, одна из которых – из исследуемого материала, и при температуре имеет поглощательную способность и поверхностную плотность потока излучения . Другая – абсолютно чёрное тело, для которой по определению плотность излучения , поглощательная способность (рис. Л.).

Система находится в тепловом равновесии (температуры пластин одинаковы) и является замкнутой (вся энергия излучается и поглощается только телами системы). Картина радиационного теплообмена следующая. Единица поверхности абсолютно чёрного тела излучает , всё это излучение попадает на первое тело, где из падающего на единицу его поверхности излучения поглощается , остальное отражается. Само это тело излучает , это излучение вместе с отражённым падает на абсолютно чёрную стенку, где полностью поглощается.

По условию теплового равновесия первое тело излучает столько энергии, сколько поглощает: или . Это справедливо для тела из любого материала при той же температуре :

.

То есть закон Кирхгофа для интегральных характеристик можно сформулировать следующим образом:

Отношение поверхностной плотности потока излучения к поглощательной способности одинаково для всех тел при одной и той же температуре, и равно поверхностной плотности потока излучения абсолютно черного тела при той же температуре.

Очевидно, из вместе с (Л8) следует . То есть