2.15. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними

. (2.15.1)

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение равно произведению модуля одного из векторов на проекцию второго вектора на направление первого вектора:

2. Два вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю

3. Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного квадрата

4. Коммутативность

5. Ассоциативность

6. Дистрибутивность

Доказательство:

7. Скалярные произведения векторов базиса

8. Выражение скалярного произведения в координатах

Доказательство:

С помощью скалярного произведения можно вычислять угол между векторами

или через их координаты

(2.15.2)

В курсе физики работа постоянной силы , под действием которой осуществлено прямолинейное перемещение материальной точки, заданное вектором выражается с помощью скалярного произведения.

2.16. Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется новый вектор c=ab, удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. Модуль вектора c=ab численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

2. Вектор c=ab ортогонален векторам a и b .

3. С вершины вектора c=ab поворот от первого сомножителя ко второму виден против часовой стрелки (векторы образуют правую тройку векторов).

Рассмотрим простейшие свойства векторного произведения:

l. Для того, чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы векторное произведение было равно нуль–вектору.

2. Антикоммутативность.

3. Ассоциативность.

4. Дистрибутивность.

5. Векторные произведения векторов базиса.

6. Выражение векторного произведения через координаты

(2.16.1)

Доказательство:

Из этой формулы получается условие коллинеарности векторов, заданных координатами

(2.16.2)

2.17. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов называется число

. (2.17.1)

Из рисунка видно, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c, выражается соотношением

.

Эта формула верна, если векторы с и ab образуют острый угол. Если этот угол тупой, то формула принимает вид

Объединим эти формулы знаком абсолютной величины

Таким образом, модуль смешанного произведения выражает объем параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах. При этом знак смешанного произведения будет положительным, если упорядоченная тройка векторов ( ) является правой, и отрицательным  если левой.

Для смешанного произведения справедлива циклическая перестановка векторов

Очевидно, что условие компланарности трех векторов эквивалентно равенству

Выражение смешанного произведения векторов через координаты имеет вид

(2.17.2)

Отсюда следует условие компланарности трех векторов, заданных координатами

(2.17.3)

2.18. Аксиоматическое определение линейного векторного пространства

Рассмотренными выше свойствами векторов, касающихся операций сложения и умножения на число, обладают и другие математические объекты (числа, матрицы и т.д.). Обобщим свойства сложения векторов и умножения векторов на действительные числа на произвольные абстрактные объекты неизвестной природы. Свойства обычных векторов мы получали в качестве геометрических теорем. Для абстрактных объектов такой возможности нет, поэтому поступим наоборот – получаемые ранее свойства объявим новыми аксиомами.

Рассмотрим некоторое множество L, составленное из элементов x , y , z , …, которые мы по прежнему условимся называть векторами.

Множество L называется линейным векторным пространством (ЛВП), если выполняются следующие три группы аксиом.

I. Любым векторам сопоставлен вектор , называемый суммой векторов x и y , обозначаемый и при этом имеют место следующие аксиомы сложения.

1. Коммутативность: .

2. Ассоциативность: .

3. Существование нулевого вектора: .

4. Существование противоположного вектора: .

II. Для любого и любого определено произведение вектора на число, при этом выполняются следующие аксиомы умножения на число.

1. Умножение на единицу: .

2. Ассоциативность: . Следует отметить, что произведения в левой и правой частях могут в общем случае определяются по разному.

III. Относительно указанных действий имеют место две аксиомы дистрибутивности.

1. . Следует отметить, что знаки сложения в левой и правой части равенства могут иметь разный смысл.

2. .