2.21. Базис и размерность линейного пространства

В пространстве понятия базиса и разложение в нем вектора были введены из геометрических соображений. В линейном векторном пространстве таких соображений нет, поэтому здесь приходится вводить аналогичные понятия аналитическими методами.

Упорядоченная система п линейно независимых векторов называется базисом в линейном пространстве L, если любой вектор является их линейной комбинацией

. (2.21.1)

Это выражение называют разложением вектора x по базису, числа называют координатами вектора х в базисе , а сам вектор кратко обозначают

. (2.21.2)

Таким образом, при наличии базиса произвольное линейное пространство может рассматриваться как п - мерное пространство .

Теорема 1. Координаты вектора в заданном базисе единственны.

Доказательство:

Для доказательства предположим, что вектор х в базисе имеет два различных разложения

Тогда

В силу линейной независимости базисных векторов, получаем

или

,

что и требовалось доказать.

Примеры базисов в ЛВП

1. Базисом в пространстве является система векторов

2. В пространстве можно образовать аналогичный базис

Существуют и другие варианты выбора базиса в пространстве , например

3. В линейном векторном пространстве в качестве векторов базиса можно взять систему функций . Легко показать, что при любом n эта система линейно независима, . Число векторов базиса бесконечно.

Размерностью линейного пространства L называется такое натуральное число , что в L существует п линейно независимых векторов, а любые п + 1 векторов являются линейно зависимыми.

Таким образом, размерность пространства – это максимальное число линейно независимых векторов в этом пространстве.

Понятия базиса и размерности связаны между собой следующими теоремами.

Теорема 2. В линейном пространстве L размерности п существует базис, содержащий ровно п векторов.

Доказательство:

Согласно определению размерности в L существует п линейно независимых векторов – и для любого вектора система векторов – является линейно зависимой

,

причём – в противном случае векторы были бы линейно независимы.

Выразим отсюда вектор x

.

Таким образом, произвольный вектор x является линейной комбинацией векторов , которые можно считать базисными векторами.

Очевидно, что в качестве базиса в п - мерном пространстве можно взять произвольную систему, состоящую из п линейно независимых векторов.

Теорема 3. Если в линейном пространстве L существует базис, то размерность L равна числу базисных векторов.

Доказательство: (Можно на лекции не доказывать.)

Пусть в пространстве L задан базис – . Следовательно размерность L – не менее, чем п. Для доказательства нужно установить линейную зависимость любых п + 1 векторов. Обозначим их – .

Представим векторы в координатной форме

.

Рассмотрим условие

, (2.21.3)

или

.

В координатной форме это соотношение сводится к системе п линейных уравнений относительно

(2.21.4)

Главный определитель системы (2.21.4) отличен от нуля (в противном случае векторы были бы линейно зависимы, а теорема очевидна).

Формулы Крамера

,

при любом показывают, что в условии (2.21.3) не все равны нулю и, следовательно, любые векторы являются линейно зависимыми. Что и требовалось доказать.