Тема 3.1 Математичні моделі і вимоги до них

Математичні моделі (ММ) служать для опису властивостей об’єктів в процедурах автоматизованого проектування. Якщо проектна процедура включає створення математичної моделі та виконання операцій над нею з метою отримання корисної інформації про об’єкт, то кажуть, що процедура виконується на основі математичного моделювання.

До математичних моделей висуваються вимоги універсальності, точності, адекватності та економічності.

Ступінь універсальності ММ характеризує повноту відображення в моделі властивостей реального об’єкту. ММ відображує лише деякі властивості об’єкту. Більшість математичних моделей, що використовують при функціональному проектуванні, призначено для відображення фізичних або інформаційних процесів, що протікають в об’єкті.

Точність ММ оцінюється ступенем співпадання значень параметрів реального об’єкту і значень тих же параметрів, розрахованих за допомогою оцінюваної ММ.

Нехай властивості, що відображаються в ММ, оцінюються вектором вихідних параметрів Y=(y₁,y₂,…,y_m). Тоді, позначивши істинне та розраховане за допомогою ММ значення j-го вихідного параметру через y_{j ист} та y_{j м} відповідно, визначимо відносну похибку _j розрахунку параметра y_j як:

_j = (y_{j м} – y_{j ист})/ y_{j ист}

_M = max _j , где j є [1:m]

Адекватність ММ – здатність відображати задані властивості об’єкту з похибкою не вище заданої.

_M ,

де > 0 – задана константа, рівна гранично допустимій похибці моделі.

Економічність ММ характеризується витратами обчислювальних ресурсів (затратами машинних часу Тм і пам’яті Пм) на її реалізацію. Чим менше Тм та Пм, тим модель економічніше.

Вимоги високої точності, ступеню універсальності, широкої області адекватності, з одного боку, і високої економічності з іншого боку, суперечливі. Найкраще компромісне задоволення цим суперечливим вимогам залежить від особливостей задач, що вирішуються, ієрархічного рівня та аспекту проектування. Ця обставина обумовлює застосування широкого спектру математичних моделей.

Тема 3.2. Класифікація математичних моделей та їх реалізація на пеом.

Основні ознаки класифікації і типи ММ наведені в наступній таблиці.

Ознака класифікації	Математичні моделі
Характер відображуваних властивостей об’єкту	Структурні, функціональні
Приналежність до ієрархічного рівня	Мікро-, макро-, метарівня
Спосіб представлення властивостей об’єкту	Аналітичні, алгоритмічні імітаційні
Спосіб отримання моделі	Теоретичні, емпіричні

Структурні математичні моделі призначені для відображення структурних властивостей об’єкту. Розрізняють структурні ММ:

• топологічні (відображають склад та взаємозв’язки елементів об’єкту);

• геометричні (відображають геометричні властивості об’єктів)

Топологічні ММ застосовують для опису об’єктів, що складаються з великої кількості елементів, при розв’язанні задач прив’язки конструктивних елементів до певних просторових позицій (наприклад, задачі компонування обладнання, розміщення деталей, трассування з’єднаннь) або до відносних моментів часу (наприклад, при розробці технологічних процесів).

В геометричних ММ додатково до відомостей про взаємне розмішення елементів містяться відомості про форму деталей. Геометричні ММ застосовують при розв’язанні задач конструювання в машинобудуванні, приладобудуванні, радіоелектроніці, для оформлення конструкторської документації, при заданні вихідних даних на розробку технологічних процесів виготовлення деталей.

Функціональні ММ призначені для відображення фізичних або інформаційних процесів, що протікають в об’єкті при його функціонуванні або виготовленні. Зазвичай функціональні моделі являють собою системи рівнянь, що пов’язують внутрішні, зовнішні та вихідні параметри.

В залежності від місця в ієрархії описів математичні моделі поділяються на

ММ, що відносяться до мікро-, макро- та метарівнів.

Особливістю ММ на мікрорівні є відображення фізичних процесів, що відбуваються в неперервних просторі і часі. Типові ММ на мікрорівні – диференціальні рівняння в частинних похідних (ДРЧП). В них незалежними змінними є просторові координати та час.

На макрорівні ММ представляються у вигляді систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДУ). В цих рівняннях незалежною змінною є час. Системи ЗДУ є універсальними моделями на макрорівні, придатними для аналізу як динамічних, так і встановлених станів об’єктів. Моделі для встановлених режимів можнв також представити у вигляді систем алгебраїчних рівнянь.

На метарівні для багатьох об’єктів математичні моделі представляються системами ЗДУ.

Аналітичні математичні моделі являють собою явні вираження вихідних параметрів як функцій вхідних та внутрішніх параметрів. Такі математичні моделі характеризуються високою економічністю, однак отримати їх можна лише в окремих частинних випадках, як правило, при прийнятті суттєвих допущень та обмежень, що знижують точність та звужують область адекватності моделі.

Алгоритмічні математичні моделі виражають зв’язки вихідних параметрів з параметрами внутрішніми та зовнішніми у формі алгоритму обраного чисельного методу розв’язання.

Імітаційна математична модель – це алгоритмічна модель, що відображає поведінку об’єкту, що досліджується, в часі. Прикладом такої моделі можуть бути моделі динамічних об’єктів у вигляді систем ЗДУ.

Для отримання математичних моделей використовують методи неформальні та формальні.

Неформальні методи застосовують на різних ієрархічних рівнях для отримання ММ елементів. Ці методи включають вивчення закономірностей процесів та явищ, пов’язаних з об’єктом, що моделюється. Застосування нефор-мальних методів можливе для синтезу теоретичних та емпіричних математичних моделей.

Теоретичні математичні моделі створюються в результаті дослідження процесів та їх закономірностей, притаманних класу об’єктів та явищ, що розглядається.

Емпіричні математичні моделі створюються в результаті вивчення зовнішніх проявів властивостей об’єкту за допомогою вимірів змінних на зовнішніх входах та виходах і обробки результатів вимірів.

Формальні методи застосовують для отримання ММ систем при відомих математичних моделях елементів.

Таким чином, отримання ММ об’єктів, що проектуються, забезпечується реалізацією математичних моделей елементів та методів формування математичних моделей систем.

Реалізація моделей на ЕОМ передбачає вибір чисельного методу розв’язання рівнянь та переворення рівнянь у відповідності до особливостей обраного методу. Кінцева мета перетворень – це отримання робочої програми аналізу у вигляді послідовності елементарних дій (арифметичних та логічних операцій), що реалізуються командами ЕОМ.

Усі зазначені перетворення вихідної математичної моделі у послідовність елементарних дій ЕОМ виконує автоматично за спеціальними програмами.

Процес перетворень математичних моделей, що відносяться до різних ієрархічних рівнів, ілюструє наступний рисунок:

Користувач задає вихідну інформацію про об’єкт, що підлягає аналізу, на зручній для нього проблемно-орієнтованій вхідній мові програмного комплексу.

Гілці 1 на рисунку відповідає постановка задачі, що відноситься до мікрорівня, найчастіше у вигляді ДРЧП. Чисельні методи розв’язання засновані ДРЧП засновані на дискретизації змінних та алгебраїзації задачі. Дискретизація полягає в заміні неперервних змінних скінченною множиною їх значень в заданих для дослідження в просторовому та часовому інтервалах. Алгебраїзація полягає у заміні похідних алгебраїчними співвідношеннями. Застосовують різні способи дискретизації та алгебраїзації змінних при розв’язанні ДРЧП. ЦІ способи складають сутність методів чисельного розв’язання. Більшість методів, що використовуються, відносяться або до методів скінченних різниць, або до методів скінченних елементів.

Якщо ДРЧП описує стан стаціонарних об’єктів, то дискретизація та алгебраїзація перетворює ДРЧП в систему алгебраїчних рівнянь, в загальному випадку нелінійних (гілка 2).

Якщо ДРЧП описує не стаціонарні об’єкти (такі, що змінюються в часі і в просторі поля змінних), то дискретизацію та алгебраїзацію можна представити складеними з двох етапів:

1. Усунення похідних по часовим координатам (гілка 3);

2. Усунення похідних по часу (гілка 4).

Для числового розв’язку ЗДУ при н початкових умовах (задача Коші) розроблено велику кількість числових методів, причому багато з них отримали розвиток під впливом потреб автоматизованого проектування. Специфіка алгебраїзації похідних по часу і обумовлює доцільність виділення для четвертої гілки спеціальних засобів математичного та програмного забезпечення, відмінних від засобів для гілок 2 та 3.

Зведення задачі розв’язання алгебраїчних рівнянь до послідовності елементарних операцій може бути або безпосереднім (гілка 5), наприклад, на основі методу простих ітерацій, або через посередництво попередньої лінеаризації рівняння (гілка 6), що складає сутність методу Ньютона. Розв’язання системи ЛАР у цьому випадку (гілка 7) виконується за допомогою прямих методів, наприклад методу Гаусса.

Гілці 8 відповідає перетворення вихідного опису задачі, що відноситься до макрорівня, в систему ЗДУ з відомими початковими умовами. Якщо це система нелінійних ЗДУ, то подальші перетворення відбуваються по описаним вище гілкам 4, 6, 7 або 4, 5, якщо ж системи лінійних ЗДУ, то доцільний безпосередній перехід до системи ЛАР (гілка 9).

Для аналізу об’єктів на метарівні застосовують або перехід до системи ЗДУ (гілка 10), або перехід до специфічних моделей (системи логічних рівнянь або моделі масового обслуговування (гілка 11)) з подальшим зведенням цих форм моделей у послідовність елементарних обчислювальних операцій (гілка 12).

Сказане показує важливе значення, що відводиться числовим методам для розв’язання систем ЗДУ, нелінійних та лінійних алгебраїчних систем рівнянь. З рисунка також видно, що такі системи рівнянь доводиться розв’язувати при проектуванні об’єкту на мікро та макрорівні, а часто і на метарівні. Від ефективності цих методів суттєво залежить загальна ефективність виконання проектних процедур функціонального проектування.