- •Множини, способи їх задання. Дії над множинами. Означення раціонального числа. Ірраціональність 2. Означення дійсного числа. Аксіома неперервності множини дійсних чисел r.
- •Числові множини. Обмежені множини. Точна верхня і точна нижня грані. Теорема про існування точної верхньої грані.
- •Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.
- •Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.
- •Монотонні послідовності. Теореми про монотонність границі, про три послідовності.
- •Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності. Критерій Коші. Число e.
- •Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці. Границя limx0(sinx/X).
- •Неперервність функції в точці. Теореми про запас неперервних функцій, про композицію неперервних функцій. Точка розриву. Типи точок розриву.
- •Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості. Нескінченно великі функції.
- •Локальні властивості неперевних функцій.
- •1. Локальна обмеженість:
- •2. Стійкість знаку:
- •Властивості неперервних функцій на відрізку.
- •Монотонні функції. Обернена функція. Теорема про неперервність оберненої функції. Теорема Больцано.
- •Рівномірна неперервність функції на множині. Теорема Кантора.
- •Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.
- •Білет 17. Похідна оберненої функції, та функції заданої параметрично.
- •Диференційовність функції в точці. Зв’язок між диференційовностью та існуванням похідної. Диференціал функції. Властивості диференціала.
- •Теореми Ферма та Ролля.
- •Теореми Коші, Лагранжа про середне значення.
- •Перше правило Лопіталя. Друге – сформулювати. Означення невизначенностей. Порівняння росту.
- •Формула Тейлора.
- •Критерій монотонності функції. Означення локальних екстремумів. Необхідна умова локального екстремуму.
- •Перша та друга достатні умови локального екстремуму.
- •Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.
- •Простір Rn. Приклади множин в Rn. Послідовності в Rn. Теорема про збіжність послідовності в Rn. Теорема Больцано- Вейерштрасса в Rn.
- •Непервні функції n – зміннмх в точці (означення). Властивості неперервнмх функцій n – зміннмх (локальні, арифметичні, композиція - довести).
- •Замкнуті та відкриті множини в Rn. Компакти. Перша та друга теореми Вейєрштрасса про неперервні функції на компактах .
- •Частинні похідні. Диференційовність функції n – зміних. Геометричний зміст диференційовності функції двох змінних. Необхідна умова диференційовності функції n-зміних.
- •Достатня умова диференційовності функції n-зміних. Похідна складної функції.
- •Диференціал функції функції n-зміних.
- •Частинні похідні вищих порядків. Теорема про мішані похідні.
- •Диференціали вищіх порядків. Формула Тейлора. Локальна Формула Тейлора – Пеано.
- •Означення локальних екстремумів функції n- змінних. Необхідна умова локального екстремуму. Достатня умова локального екстремуму.
- •Функції задані неявно. Теорема про неявну функцію. Дотична і нормаль до поверхні, заданої неявно.
- •Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.
- •Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.
- •Теорема Безу. Основна теорема алгебри. Теорема про розклад полінома на множники над полем c.
- •Теорема про розклад полінома на множники над полем r.
- •Ріціональні функції. Теорема про розклад раціональної функції на елементарні дроби. Інтегрування елементарних функцій I та II типу на прикладі.
- •Лінійний простір. Базис, координати та вимірність простору. Теорема про заміну бізиса. Приклад: поворот системи координат.
- •Теорема про заміну базиса
- •Лінійні відображення. Властивості лінійних відображень. Побудова матриці лінійного відображення. Дія лінійного відображення на координати. Перетворення матриці при заміні базиса.
- •Власні числа і власні вектори лінійного оператора. Характеристичний полином лінійного оператора.
- •Діагоналізація матриці лінійного простора. Критерій діагоналізації. Достатня умова приведення матриці до діагонального виду.
- •Евклідові простори. Теорема про існування ортонормованого базиса евклідового простору. Властивості ортонормованих базисів.
- •Ортогональні матриці та їх властивості. Квадратичні форми: зведення до канонічного виду методом Лагранжа.
- •Квадратичні форми і зведення до канонічного виду методом ортогональних перетворень.
Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.
Припустимо, що кожному натуральному n поставлено в відповідність xn R тоді говорять, що задана числова послідовність (xn)
Околом дійсного числа а називається довільний інтервал, що містить числа а, позначається О(а).
Нехай (xn) числова послідовність , число а називається границею послідовності (xn), якщо кожний окіл точки а містить всі члени послідовності починаючи з деякого номера. Позначається xna ,(n)
>0 N() nN |xn-a|< xn O(a)
Якщо lim(xn)=a то кажуть, що послідовність зберігається до а.
Послідовність, що зберігається до 0 називається нескінченно малою.
1. Єдиність границі: збіжна послідовність має лише одну границю. Припустимо, що послідовність xn має дві різні границі a i b. Виберемо два -околи точок a i b які не мають спільних точок <(a-b)/2 тоді O(a) O(b) = 0 тоді за означенням границі починаючи з номера N1, xn належить околу точки а тому, що lim(xn)=a , а також починаючи з деякого N2, xn O(b). Візімемо номер N Який дорівнює максимуму з N1 та N2, тоді для будь-якого nN xn повинно належати O(a) та O(b), xn O(a)O(b), а це неможливо.
2. Обмеженість границі. Послідовність (xn) називається обмежена зверху, якщо xnC, та обмеженою знизу якщо xnC, та обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу. Збіжна послідовність є обмеженою.
Доведення: припустимо, що lim(xn)<a
>0 N() nN |xn-a|<, візьмемо =1 тоді маємо
nN |xn-a|<1 a-1<xn<a+1. Це означає, що в окіл попали елементи обмежені зверху a+1 та знизу a-1. В окіл непопала скінченна кількість точок скінченна кількість точок теж обмежена.
Білет 4.
Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.
Послідовність, що зберігається до 0 називається нескінченно малою.
Теорема про властивості нескінченно малих послідовностей. Сума, різниця та добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно мала послідовність.
Доведення: нехай (n) та (n) – нескінченно малі послідовності, тоді
n >0 N1(), n N1 n </2
n >0 N2(), n N2 n </2
N= max ( N1 , N2 ) n N n + n n +n < /2+/2 =
Це рівносильно тому, що сума прямує до 0.Для різниці аналогічно. Доведемо, що добуток нескінченно малої на обмежену є нескінченно мала.
n 0, an C > 0
Якщо n 0 >0 N() n < / C при n N () n an = n an < ( / C) C = Оскільки (n) – нескінченно мала і (n) – нескінченно мала то з другої властивості добуток прямує до 0.
n 0, n 0, n С.
Теорема про арифметичні властивості границь. Якщо послідовність xn збігається до a, послідовність yn збігається до b, то сума збігається до a+b, різниця до a-b, добуток до ab, а частка при b0 до a/b.
Доведення:
xn a xn = a+n (n 0)
yn b bn = b+n (n 0)
xnyn = ab+(nn), так як nn 0 xnyn ab
xnyn = (a+n)(b+n) = ab + nb + na + nn xnyn = ab
Білет 5.