Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

[a₁,b₁][a₂,b₂]…  [a_n,b_n] [a_n+1,b_n+1]

Послідовність відрізків називається системою вкладених відрізків, якщо кожний наступний включається в попередній.

Теорема: Кожна система вкладених відрізків має спільну точку, якщо послідовність довжин відрізків прямує до нуля , то ця спільна точка єдина.

Доведення: розглянемо послідовність лівих кінців відрізку, вона монотоннозростає і обмеженна зверху b, тму за теоремою Вейерштрасса вона має границю і ця границя дорівнює Sup a_n = a.

a₁a₂…a_na_n+1… a_n a_nb_n   lim_na_n = Sup a_n = a

Розглянемо послідовність правих кінців. Ця послідовність монотонноспадає і обмежена a, тому існує границя правих кінців.

b₁b₂…b_nb_n+1… b_n b_na_n   lim_n®b_n= Inf b_n= b

a_nb_n  lim_n a_n  lim_n® b_n  a £b 

a_na, a_na a_na n   a_nabb_n n

b_nb, b_nb b_nb n 

[a₁,b₁] [a_n,b_n]  [a,b]  [a_n,b_n] n при n1

Припустимо, що довжина відрізків прямує до 0, коли n 

lim_n a_n = lim_n®b_n = a  a=b, [a,b]={a} .

Нехай задано послідовність x_n, розглянемо послідовність номерів n, що строгозростає і утворимо нову послідовність n₁<n₂<…<n_k<… Утворена послідовність n_k є підпослідовністю x_n.

Теорема Больцано-Вейштрасса: кожна обмежена послідовність має збіжну підпослідовність.

Доведення: нехай x_n – обмежена послідовність.

a₁  x_n  b₁ n. Поділимо відрізок навпіл отримаємо 2 відрізки і виберемо серед них той відрізок в якому міститься нескінченна кількість елементів послідовності a₂  x_n  b₂ x_n [a₂; b₂] для нескінченого числа n. [a₂; b₂] поділимо навпіл і виберемо той відрізок в якому знаходиться нескінченне число x_n і.т.д. отримаємо систему вкладених відрізків в яких кожний наступний має довжину в двічі менше попереднього. Довжина всіх відрізків буде прямувати до 0. За принципом вкладених відрізків {a}=[a_n,b_n].

b₂-a₂=1/2(b₁-a₁)

b₃-a₃=1/2(b₂-a₂)

…

b_n+1-a_n+1=1/2(b_n-a_n)

візьмемо ^xn₁^{[a1; b1]}

^xn₂^{[a2; b2]}

….

^xn_k^{[ak; bk]} k=1,2,3…  ^xn_k a

>0  k [a_k; b_k]<(a-; a+)O_(a) .

Білет 8.

Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці. Границя limx0(sinx/X).

Число L називається границею функції f(x) за умови xa, якщо:

1. функція f(x) визначена у проколотому околі точки a

2.  x_na, x_n D(f)  f(x_n)  L.

Означення по Гейне.

Означення Коші: Число L називається границею функції f(x), коли xa, якщо:

1. функція f(x) визначена у проколотому околі точки a

2. >0 () xD(f) x-a<  f(x) - L<

Число L називається границею функції на нескінченності, якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності x_n, f(x_n)L

1. (По Гейне) x_n   f(x_n)L

2. (По Коші) >0 N()>0 x>N  f(x)-L<

Границя на +

1. (По Гейне) x_n +  f(x_n)L

2. (По Коші) >0 N()>0 x>N  f(x)-L<

Границя на -

1. (По Гейне) x_n -  f(x_n)L

2. (По Коші) >0 N()>0 x<-N  f(x)-L<

Властивості границі функції:

1. Єдиність границі ( lim_xa f(x) = L₁, lim_xaf(x) = L₂  L₁=L₂ )

Доведення: візьмемо довільну послідовність x_na тоді за Гейне

y_n= f(x_n)  L₁

y_n= f(x_n)  L₂

за властивостю єдиності границі для послідовності L₁=L₂

2. Обмеженість границі, якщо f(x) має границю в точці a то вона обмежена в де-якому околі точки a.

Доведення:

За означенням: >0 () x D(f) x-a<  f(x)-L<

Нехай =1

 x D(f) x-a<  f(x)-L<1  -1<f(x)-L<1  L-1<f(x)<L+1

Таким чином f(x) обмежена з низу константою L-1 і зверху константою L+1.

Арифметичні властивості границь:

Теорема: якщо границя функції f(x), коли xa дорівнює L, а lim_xag(x) = M то:

f(x)g(x)  LM

f(x)g(x)  LM

f (x)/g(x)  L/M, M0.

Теорема: lim_x0 sinx/x = 1.

Доведення: функція парна sin(-x)/(-x)= sinx/x тому розглянемо випадок 0<x</2

S_OAB < S_сектOAB < S_OAC, що відповідно

½ sinx < ½ x < ½ tgx

sinx < x < txg = sinx/cosx в інтервалі 0<x</2  1 < x/sin < 1/cosx  1 > sinx/x > cosx, враховуючи що cosx = 1- 2sin²(x/2) > 1 – 2(x/2)², бо 0 < sin(x/2) < x/2, маємо

1 > sinx/x > 1-x²/2 при x0,

lim 1 = 1

lim (1-x²/2) = 1  lim (sinx/x) = 1

Білет 9.

Границя lim_x(1+1/x)^x. Наслідки вивести табличні границі: lim_x0(1+x)^1/x, lim_x0(ln(1+x)/x), lim_x0((e^x-1)/x).

Теорема: lim_x(1+1/x)^x = e

Доведення : використаємо означення числа е

1. x + [ x ] = n тоді

n  x < n+1  1+1/(n+1) < 1+1/x  1+1/n  (1+1/(n+1))ⁿ < (1+1/x)^x < (1+1/n)ⁿ⁺¹

Доведемо,що крайні послідовності прямують до е:

lim (1+1/n)ⁿ⁺¹ = lim (1+1/n)ⁿ(1+1/n) = lim (1+1/n)ⁿlim (1+1/n) = e1 = e при x

lim (1+1/(n+1))ⁿ = lim ([1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹)/(1+1/(n+1)) = e/1 = e

при x 

За теоремою про три функції :

lim (1+1/x)^x = e при x 

2. x  x = y  y + , а це попередній випадок.

lim (1-1/x)^x = lim (1-1/y)^-y = lim 1/(1-1/y)^y = lim (y/(y-1))^y = lim ((y-1+1)/(y-1))^y = lim (1+1/(y-1))^y = lim (1+1/(y-1))^y-1lim (1+1/(y-1)) = e1 = e при y 

Наслідок: Зробимо заміну t=1/x, при x , t  

lim (1+1/x)^x = lim (1+t)^1/t = e  lim (1+x)^1/x при x  0

Прологарифмуємо lim(1+x)^1/x = e за основою e маємо:

Ln( lim_x0(1+x)^1/x) = 1 логарифмічна функція є неперервною тому можна поміняти місцями знаки границі та логарифма lim_x0(ln(1+x)^1/x) = 1  lim_x0( ln(1+x)/x) = 1

Обчислимо границю lim_x0 ( (e^x-1) /x ) = [0/0] = e^x-1 = t 

 x  0 

 t  0 

 x = ln(1+t)  =

lim_t0( t / ln(1+t) ) = lim_t0 (1/(ln(1+t)/t) ) = 1

Білет 10.