- •Оглавление
- •1. Схема Бернулли 20
- •2. Дискретные случайные величины 24
- •4. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. Величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство: 32
- •Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определяется событие, противоположное данному? Приведите примеры.
- •Что называется суммой и произведением событий а и в? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случай наступления события
- •Докажите, что . Что означает событие ?
- •Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их ве-роятности? Пусть a, b и c – случайные события. Перечислите все случаи наступления события .
- •В каком случае событие в называют следствием события а? Какие события называются равными? Объясните, почему .
- •Пусть а и в – случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию .
- •Дайте определение условной вероятности и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2)
- •Как соотносятся понятия независимые события а и в и несовместные события а и в? Следует ли из независимости событий а,в,с независимость событий ав и ? Почему?
- •В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке ab? в треугольнике abc?
- •24. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса r? в кубе со стороной a?
- •25. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события ав, и не образуют полной группы событий.
- •26. Верно ли, что события образуют полную группу для любых событий а и в? Ответ обоснуйте.
- •28. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.
- •1.Схема Бернулли
- •30. В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.
- •40. Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения.
- •2.Дискретные случайные величины
- •42. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайной величины и продемонстрируйте их на примере.
- •46. Что называется геометрическим распределением с параметром ? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром .
- •48. Какой закон распределения называется законом Пуассона? в чем состоит связь этого закона с предельной теоремой Пуассона (приближенной формулой Пуассона)?
- •50. Пусть – независимые случайные величины, принимающие с вероятностью значения 0 и 1. Верно ли, что и – независимые случайные величины? Ответ обоснуйте.
- •52. Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин?
- •53. Приведите (с обоснованием) пример дискретного распределения вероятностей, для которого не существует математическое ожидание.
- •54. Может ли математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей целые значения, быть числом нецелым? Ответ обоснуйте.
- •55. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание . Докажите, что .
- •58. Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X ? Перечислите основные свойства дисперсии.
- •4.Докажите, что для биномиального закона распределения сл. Величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:
- •70. Чему равен и Cov при условии независимости случайных величин ? Что можно сказать о , если , где и – некоторые числа ? Ответ обоснуйте.
- •10.Перечислите основные свойства функции плотности вероятности. Чем объясняется название «плотность вероятности»?
- •11.Как определяется показательный закон распределения с параметром ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и .
- •12.Как определяется равномерный закон распределения на отрезке ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и .
- •76. Возможно ли равномерное распределение на всей числовой оси? Чему равна вероятность для равномерно распределенной на отрезке случайной величины ? Рассмотрите случаи: 1) и 2)
- •78. Запишите плотность распределения нормальной случайной величины , для которой . Как изменится график плотности распределения, если: а) увеличится б) увеличится ?
- •82. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра в формуле для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону.
- •90. Сформулируйте определение эксцесса случайной величины и укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения?
- •92. Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора и дайте его геометрическую интерпретацию.
- •93. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора и приведите пример двумерной функции распределения.
- •98. Как можно найти функцию распределения, fxy(X,y) случайного вектора (X,y) с независимыми компонентами X и y , если известны их функции распределения f(X)X и f(y)y? Ответ обоснуйте.
- •Числовые характеристики случайного вектора
- •99. Как найти математическое ожидание функции φ(X,y) , где X,y – компоненты случайного вектора (X ,y) ? Как определяются начальные νk ,l и центральные μk ,l моменты случайного вектора (X ,y)?
- •100. Каков смысл начальных ν 0,1 , ν 1,0 и центральных μ 1,0 μ 0,1 μ 1,1, , моментов двумерного случайного вектора (X,y) ? Ответ обоснуйте.
- •101. Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин х1,х2…Хn и сформулируйте их основные свойства.
- •104. Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин X и y?
- •107. Сформулируйте и докажите неравенство Чебышева.
- •109. Сформулируйте и докажите теорему Чебушева для бесконечной последовательности случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными одним и тем же числом.
- •110. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли (закон больших чисел)
- •111. Сформулируйте центральную предельную теорему. Укажите примеры ее применения.
- •112. Сформулируйте центральную предельную теорему для одинаково распределенных случайных величин и приведите пример ее применения.
- •113. Используя центральную предельную теорему, обоснуйте интегральную формулу Лапласа.
1. Схема Бернулли 20
30. В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения. 20
20
33. Пусть – вероятность успехов в серии независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. При каком вероятность достигает максимума? Совпадает ли это число с математическим ожиданием количества успехов? Чему равна сумма ? 21
34. Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте. 22
35. Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона? 22
36. Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа . При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? 22
37. Укажите выражение для функции Лапласа . Докажите нечетность функции и нарисуйте график . Чему равно ? 23
39. Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона. 23
40. Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения. 23
2. Дискретные случайные величины 24
41. Что такое случайная величина? Что такое дискретная случайная величина? Что называется функцией распределения случайной величины? Приведите пример функции , которая является функцией распределения некоторой дискретной случайной величины , объясните, почему это так и постройте ее график. 24
42. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайной величины и продемонстрируйте их на примере. 25
43. Может ли график функции распределения быть прямой линией? Ответ обоснуйте. 25
44. Что такое дискретная случайная величина? Может ли таблица 25
25
25
25
25
25
25
25
25
рассматриваться как закон распределения дискретной случайной величины? 25
45. Дана дискретная случайная величина с законом распределения 26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
Что является ее функцией распределения ? Постройте график и опишите его точки разрыва. Как вычисляется вероятность ? 26
46. Что называется геометрическим распределением с параметром ? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром . 26
47. Что называется биномиальным распределением с параметрами и ? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по биномиальному закону. 27
Распределение, описываемое формулой 27
48. Какой закон распределения называется законом Пуассона? В чем состоит связь этого закона с предельной теоремой Пуассона (приближенной формулой Пуассона)? 27
49. Как определяется независимость случайных величин? Игральную кость бросают раз. Пусть – число выпадений грани ; – число выпадений грани . Будут ли зависимыми случайные величины и ? Ответ обоснуйте. 27
50. Пусть – независимые случайные величины, принимающие с вероятностью значения 0 и 1. Верно ли, что и – независимые случайные величины? Ответ обоснуйте. 28
51. Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Поясните его смысл на примере случайной величины с двумя возможными значениями, исходя из статистического определения вероятности. 28
52. Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин? 29
53. Приведите (с обоснованием) пример дискретного распределения вероятностей, для которого не существует математическое ожидание. 29
54. Может ли математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей целые значения, быть числом нецелым? Ответ обоснуйте. 30
55. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание . Докажите, что . 30
58. Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X ? Перечислите основные свойства дисперсии. 31
59. Докажите, что если X – дискретная случайная величина, то D(X) = M(X 2) −M2(X). 31
60. Пусть X – дискретная случайная величина. Может ли выполняться неравенство M(X 2)<(M(X ))2 ? Ответ обоснуйте. 31
3. Докажите, что если X и Y – независимые случайные величины, то D[XY]= D[X ]⋅D[Y ]+E[X ]2 D[Y]+E[Y ]2 D[X ]. 32