13. Дайте определение условной вероятности и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2)

Пусть А и В случайные события по отношению к какому либо опыту причем P(B) неравно 0. число Р_B(А)=Р(АВ)/Р(В) называют вероятностью события А при условии что событие В уже наступило или просто условной вероятностью А. Наличие условной вероятности (Р_B(А)≠Р(А)) между событиями определяет их взаимосвязь.

Статистическая интерпретация: Рассмотрим некий эксперимент и 2 соб. А и В. Повторим опыт к раз. Пусть - число опытов, в которых произойдет событие А при условии что В тоже произойдет.

1) Р(А/B)>Р(А) бросаем кость, В- выпало четное, А-выпала двойка. Р(А)=1/6 РB(А)=1/3 2) P(A/B)=P(A) бросаем кость. А-выпало от 1 до 2, В-выпало от 2 до 4. P(A)=1/3, P(A/B)=1/3.

14. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий A и В? Для любых А и В? Запишите правило умножения вероятностей для трех (зависимых) событий A,B и C. Приведите примеры применения соответствующих формул.

Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий( тк для независ событий Р_B(А)=Р(А)). Вероятность произведения равна произведению вероятностей. Для двух любых событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р_B(А)Р(В). Для трех любых событий: Р(АВС)=Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С).

Пример: 1)колода карт А- вытянем туза, В – вытянутая карта черной масти. Р(А)=4/36 Р(В)=18/36 всего в колоде два черных туза Р(АВ)=2/36, Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

2) В- выпало четное, А-выпала двойка Р(В)=1/2 Р_B(А)=1/3, Р(АВ)=Р_B(А)Р(В)

Вероятность выпадения двойки 1/6.

15. Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события A, В, С означают: А – на первой монете выпал герб; B – на второй монете выпал герб; C – обе монеты упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события? Почему?

События А₁, А₂….Аn являются независимыми если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Р(АВ)=Р(А)*Р(В); Р(АС)=Р(А)*Р(С); Р(СВ)=Р(С)*Р(В) в системе

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С) Все три события не будут независимы так как при событие С зависит от А и В: Если А и В произошли то Р(С)=1, если А и В не произошли Р(С)=1, а если А произошло а В нет и наоборот Р(С)=0.Поэтому справедливо Р(АВС)=Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С)= 1/2*1/2*1=1/4 а не Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)

15. Как соотносятся понятия независимые события а и в и несовместные события а и в? Следует ли из независимости событий а,в,с независимость событий ав и ? Почему?

Если события независимы то вероятность их осуществления не меняется при наступлении любого количества из них. Если же события несовместны то наступление одного из них исключает наступление второго. В данном примере надо найти что АВ и независимы, то есть .

АB=AB* =AB(C+ )=ABC+AB Из несовместности:

P(AB)=P(ABC)+P(AB )=P(AB)P(C)+P(AB )

Р(АВ )=Р(АВ)-Р(АВ)Р(С)=Р(АВ)(1-Р(С))=Р(АВ)*Р( )

15. События А и независимы, события А и также независимы. При этом события В и С несовместны. Следует ли из этого, что события А и В+С независимы? Ответ необходимо обосновать.

В и С несовместны, т.е. Р(ВС)=0, т.к. В*С=

Р(А*(В+С))=Р(А)*Р(В+С) - ?

из того, что А и незав  А и В  независимы по теореме.

из того, что А и незав  А и С 

Р(А)=Р(А +АВ)=Р(А )+Р(АВ-т.к. несовместимы)=Р(А)*Р( )+Р(АВ)

Р(АВ)=Р(А)-Р(А) Р( )=Р(А)*Р(В), ч.т.д

Р(А(В+С)=Р(АВ+АС)=(А и С несовм)=Р(АВ)+Р(АС)=(А и В –независ, А и С-независ)= Р(А)*Р(В)+Р(А)*(Р(С))=Р(А)*(Р(В)+Р(С))=(В и С-несовм)=Р(А)*(Р(В+С)), ч.т.д.

15. Как определяется независимость событий А₁,А₂,……,А_n , в случае если n>2? Является ли равенство Р(А₁А₂А₃)=Р(А₁)*Р(А₂)*Р(А₃) достаточным для независимости событий А_1,А_2,А₃? Ответ обоснуйте

События А₁,А₂,……,А_n называются независимыми в сов-ти, если для любого подмножества номеро/индексов:

k≤n, выполняется:

Р(А_i1A_i2…A_ik) =Р(А_i1)…Р(A_ik)

Для независимости 3-х событий необходимо выполнить след. равенства.

Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Р(АС)=Р(А)Р(С)

Р(ВС)=Р(В)Р(С)

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)

15. Имеется две игральные кости: одна-симметричная, вторая-несимметричная. Пусть р-вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, р=1/6.

А-несимметр. кость