3.Математикалық маятниктің тербелісін модельдеу.
Маятниктің тербелісін модельдеу. (Ауытқуы А3)
Математикалық маятник созылмайтын жіңішке, салмақсыз жіпке ілінген материялдық нүкте (дене).
O
х
L
M
B
x
Mo
Тербелісті сипаттайтын күй:
Вертикаль өстен ең үлкен ауытқу қашықтығы: MB=Lsinx.
Тербелістің биіктігі: BMo=L(1-cosx). Mo-алғашқы биіктік.
Екі кесінді (OM және OMo) арасындағы бұрыш. x=(OM,^OMo)
→ →
Ньютонның 2-ші заңын F=ma.
F-маятник қозғалысын тудыратын күш. OM- кесіндіге ┴ перпендикуляр бағытта әсер етеді.
Салмақ күші P=mg.
F=-Psinx=-mgsinx
Таңбасы минус, себебі бұрыштың ұлғаю бағытына күш кері бағытта әсер етеді.
<лат. oscillare-колебаться>
<гр. harmonia- связь,стройность,соразмерность>
Sпр=1+1/2+1/3+…+1/n+… Лейбниц жинақты емес, мүшесі 0-ге ұмтылады.
Ньютонның 2-ші заңын
•
mv(t)=-mgsinx
•
v(t)=-gsinx (1)
Маятниктің тербелісі массасына байланысты емес.
Мұнда v(t) маятниктің сызықтық жылдамдығы.
x-күй, бұрышты сипаттайды, ал туындысы күйдің бұрыштық жылдамдығы.
O
L ө/2
ө х(t)
M(t+τ)
r
(τ)
M(t) r/2 r/2 M(t)
M(t+τ)
Ө=x(t+τ)-x(t) r/2=L*sin(ө/2);
2(a,б)- сурет. Бұрыштық жылдамдықты есептеу.
Маятниктің жылдамдығы.
v(t)=lim [r(τ)/τ] ; cosө(0)=1
τ→0
r(τ)/2=L*sin(ө/2); Ө(τ)=x(t+τ)-x(t);
•
v(t)=(dr/dτ) =(d[2*L*sin(Ө(t)/2)]/dτ) = L*cos(Ө(0)/2)*d Ө(0)/dτ≈L*x(t)
τ=0 τ=0
•
v(t)= L*x(t)
Сызықтық жылдамдық пен бұрыштық жылдамдық арасындағы байланыс.
v(t)=L*(dx/dt); v(t)=L*(dx/dt).
d v/dt=L*(d²x/dt²);
L
*(d²x/dt²)=-gsinx
d²x/dt²=-(g/L)sinx
М еншікті жиілік енгізіп, wo=√g/L
d²x/dt²+ώ²osinx=0 (2)
Екінші ретті жай дифференциалдық теңдеу (сызықты емес). Тербелістің аз ауытқу шамасында бұрыш нөлге жақын болса, онда синустың шамасын бұрыштың шамасымен ауыстыруға болады.
s inx≈x
Маятниктің А3 бұрышқа байланысты тербелісі сызықты теңдеу.
(d²x/dt²)+ ώ²o*x=0 (3)
Гармониялық осциллятор теңдеуі. Маятниктің еркін тербелісі.
t=0 уақыт моменті. Бұрыш xo, ал бұрыштық жылдамдық х1
x(0)=xo, dx(0)/dt=x1 (4)
Коши есебін алдық. Процесс параметрлері ώо- меншікті тербеліс, хо-
х1-
Қорытынды
E=1/2*m*v²+m*g*h;
v=L*(dx/dt); h=L*(1-cosx)
Е=1/2*m*L²(dx/dt)²+m*g*L(1-cosx)
Кинетикалық, потенциалдық энергияларды, бұрыштық жылдамдықты табамыз.
Гармониялық осциллятор теңдеуі.
Е скерту х«1 математикалық маятниктің периоды T=2*π√L/g ;
Еркін аз ауытқуға байланысты тербелісі.