1.3.3 Қос күш туралы теоремалар

1-теорема. Бір жазықтықта жатқан екі қос күшті моменті осы қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады (дәлелдеусіз).Салдар. Бір жазықтықта жатқан кез келген қос күштер жүйесін моменті барлық қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады.2-теорема. Моменттері тең екі қос күш өзара пара-пар болады (дәлелдеусіз).1-салдар. Дененің күйін өзгертпей қос күшті параллель жазықтыққа көшіруге болады. 2-салдар. Қос күштің моменті мен айналу бағытын сақтай отырып, оның шамасы мен иінін өзгертуге болады. Одан дененің күйі өзгермейді.3-теорема. Қиылысатын жазықтықтарда жатқан екі қос күшті осы қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады (дәлелдеусіз)1, 2, 3 теоремалардың салдары. Түрлі жазықтықтарда жатқан қос күштердің кез келген санын моменті барлық қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады. Сонымен, денеге әсер ететін қос күштер жүйесі бір қос күшке пара-пар екен. Тең әсерлі қос күштің моменті құраушы қос күштердің моменттерінің геометриялық қосындысына тең:

Қос күштер жүйесінің тепе-теңдік шарты. Моменттері қос күштердің әсеріндегі дене тепе-теңдікте болу үшін барлық қос күштердің моменттерінің геометриялық қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

К инеметика деп – материялық денелер қозғалысының геометриялық сипаттамаларын (траекториясын, жылдамдығын, үдеуін), зерттейтін теориялық механика тарауын айтады. Кинематикада денелердің қозғалысы оған әсер ететін күштерге тәуелсіз, тек геометриялық тұрғыдан зерттеледі. Дененің қозғалысы деп оның басқа бір қозғалмайтын денеге қатысты орын ауыстыруын айтады. Осы қозғалмайтын денемен байланысқан координата жүйесін санақ жүйесі деп атайды.

Нүкте кинемтикасы

Жүріп өткен жолымен салыстырғанда өлшемі әлдеқайда кіші денені кинематикада нүкте деп атайды. Нүкте қозғалысының негізгі кинематикалық сипаттамаларына оның траекториясы, жылдамдығы және үдеуі жатады. Нүкте кинематикасында мынадай екі негізгі мәселе қарастырылады:

1) Нүкте қозғалысының берілу тәсілдерін анықтау;

2)Берілу тәсілдеріне қарай нүктенің барлық кинемтикалық сипаттамаларын (траекториясын, жылдамдығы мен үдеуін) анықтау.

Нүкте қозғалысының берілу тәсілдері

Нүкте қозғалысын беру деп кез келген уақытта нүктенің кеңістіктегі орнын табуға мүмкіндік беретін тәсілді алуды айтады. Кинематикада нүкте қозғалысы үш түрде: векторлық, координаталық және табиғи тәсілдермен беріледі.

В екторлық тәсіл. Бұл тәсілде нүктенің радиус-векторы уақытқа тәуелді функция ретінде беріледі, яғни

(1)

Н үктенің радиус-векторы координата жүйесінің бас нүктесі болатын бір О нүктесінен жүргізіледі, бірақ координата жүйесінің берілуі нақтыланбайды (1-сурет). (1) теңдеу нүктенің қозғалыс заңы деп аталады.Уақыт өзгерген кездегі радиус-вектор ұшының кеңістіктегі геометриялық орындары нүктенің траекториясы немесе радиус-вектордың годографы деп аталады. Егер нүктенің траекториясы түзу болса оның қозғалысы түзу сызықты қозғалыс, ал қисық болса – қисық сызықты қозғалыс деп аталады.

Нүктенің жылдамдығы мен үдеуі

Енді нүкте қозғалысы әртүрлі тәсілмен берілген кезде оның негізгі кинематикалық сипаттамаларының қалай анықталатынын қарастырайық.

Қозғалыстағы нүктенің негізгі кинематикалық сипаттамаларының біріне жылдамдық жатады. Нүктенің жылдамдығы деп оның қозғалысының жылдамдығы мен бағытын сипаттайтын векторлық шаманы айтады.

В екторлық тәсіл. Нүктенің уақыттағы орны радиус-вектормен, ал уақыттағы орны радиус-вектормен анықталсын (4-сурет). Осы векторлардың айырмасын арқылы белгілейік, яғни

.(8)

Бұл вектор нүктенің элементар уақыттағы элементар орын ауыстыруы деп аталады.

Элементар орын ауыстыру векторының элементар уақытқа қатынасы нүктенің орташа жылдамдығы деп аталады:

(9)

(10)

демек, нүкте жылдамдығының векторы оның радиус-векторынан уақыт бойынша алы . (11)

Жылдамдық векторы траекторияға жанама бойымен бағытталады (4-сурет).

Түзу сызықты қозғалыс кезінде жылдамдық векторы осы түзудің бойымен бағытталып, оның тек сандық шамасы ғана өзгере алады. Ал қисық сызықты қозғалыс кезінде жылдамдық векторының сандық шамасымен қатар бағыты да өзгеріп отырады. Жылдамдықтың өлшем бірлігі ретінде м/с немесе км/сағ. қолданылады.

Нүктенің үдеуі деп оның жылдамдығының модулі мен бағытының өзгеруін сипаттайтын векторлық шаманы айтады.

Нүктенің уақыттағы орны М және жылдамдығы , ал уақыттағы орны және жылдамдығы болсын (5-сурет). векторын нүктеден М нүктеге көшіріп уақыт аралығындағы жылдамдықтың өзгеру векторы деп аталатын вектор енгізейік:

.(12)Осы вектордың өзгеріс болатын уақытқа қатынасы уақыт аралығындағы нүктенің орташа үдеуі деп аталады:

нған бірінші туындыға тең екен:орташа жылдамдықтың векторы векторы сияқты бағытталады.Бұл вектор векторы сияқты бағытталады.

нөлге ұмтылған кездегі мен қатынасының шегі нүктенің үдеуі деп аталады:

Демек, нүкте үдеуінің векторы оның жылдамдық векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға немесе радиус-векторынан уақыт бойынша алынған екінші туындыға тең екен.Нүкте үдеуінің векторы әрқашан нүкте траекториясының ойыс жағына қарай бағытталады.

1. Координаталық тәсіл. Бұл тәсіл міндетті түрде координата жүйесінің берілуін талап етеді. жүйесіндегі кез келген М нүктенің орны оның координаталарымен анықталады. Нүкте қозғалған кезде оның координаталары өзгереді де уақытқа тәуелді функциялар болады (2-сурет):

.

Бұл теңдеулер нүктенің декарттық координата жүйесіндегі қозғалыс теңдеулері деп аталады.

Н үктенің траекториясының теңдеуін координаталық түрде жазу үшін (2) теңдеулерінен уақытты жою қажет.

2 -суреттен векторлық және координаталық тәсілдердің арасындағы байланысты аламыз:

Егер қозғалыс сфералық немесе цилиндрлік координата жүйесінде қарастырылса, онда нүктенің сәйкес координаталары уақыт функциялары ретінде беріледі:

(4)

4 теңдеулері нүктенің цилиндрлік координата жүйесіндегі, ал (5) теңдеулері – сфералық координата жүйесіндегі қозғалыс теңдеулері болады.

Нүкте бір жазықтықта қозғалған жағдайда оның қозғалысы полярлық координата жүйесінде берілуі мүмкін:

Бір жағынан цилиндрлік, сфералық, полярлық координата жүйелерінің арасында, ал екінші жағынан декарттық координата жүйесінің арасында белгілі байланыстар бар:

2. Координаталық тәсіл. декарттық координата жүйесіндегі нүкте қозғалысын қарастырайық. Сонда бірлік вектоларының тұрақты екендігін ескеріп, (11) өрнегінен мынаны аламыз:

.

Осыдан нүкте жылдамдығы векторының декарттық координата өстеріне проекцияларын аламыз:

.Нүкте жылдамдығының векторын былай жазуға болады:

.

Нүкте жылдамдығының сан шамасы мына өрнекпен анықталады:

, ал бағыты – бағыттаушы косинустармен анықталады:

.Енді нүкте үдеуін табу үшін (14) өрнегіне сәйкес (16) өрнегінен уақыт бойынша туынды аламыз:

.

Осыдан нүкте үдеуі векторының декарттық координата өстеріне проекцияларын аламыз: (19)

Нүкте үдеуінің векторы былай жазылады:

,сонда нүкте үдеуінің сан шамасы: . Үдеу векторының бағыттаушы косинустары: