Обработка результатов измерений
В таблице 1 приведены 100 независимых числовых значений результата измерений напряжения U цифровым вольтметром, каждое из которых повторилось m раз. Определить значение измеряемого напряжения.
Таблица 1
Исходные данные, В |
|||||||||||||
U |
17,07 |
17,08 |
17,09 |
17,14 |
17,11 |
17,12 |
17,15 |
17,16 |
17,17 |
17,18 |
17,19 |
17,2 |
17,21 |
m |
1 |
1 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
2 |
4 |
3 |
3 |
U |
17,22 |
17,23 |
17,24 |
17,25 |
17,26 |
17,27 |
17,28 |
17,29 |
17,3 |
17,31 |
17,32 |
17,33 |
17,34 |
m |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
4 |
3 |
1 |
6 |
4 |
4 |
7 |
1 |
U |
17,35 |
17,36 |
17,37 |
17,39 |
17,4 |
17,41 |
17,42 |
17,43 |
17,44 |
17,46 |
17,47 |
17,49 |
17,52 |
m |
2 |
3 |
4 |
1 |
3 |
6 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
U |
17,54 |
17,58 |
17,61 |
17,38 |
17.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Используя полученные данные, найдем значение среднего арифметического
и оценки среднего квадратического
отклонения Su:
=17,28 В; Su= 0,2 В.
С помощью правила «трех сигм» проверим наличие грубых промахов:
17,28+30,2
= 17,88 В
17,28 - 30,2
= 16,68 В
Ни один из результатов
не выходит за границы интервала
,
следовательно, с вероятностью 0,9973
принимается гипотеза об отсутствии
грубых промахов.
ΔU =
= 0,07
4
Определим значение аргумента
интегральной функции нормированного
нормального распределения:
Предположим, что вероятность результата измерений подчиняется нормальному закону. Проверим правдивость этой гипотезы с помощью критерия Пирсона. Все расчеты сведем в таблицу 2.
Таблица 2
Расчет критерия
Пирсона
i |
Интервалы |
mi |
|
ti-1 |
ti |
Фi-1 |
Фi |
Pi |
|
|||||||||
Ui-1 |
Ui |
|||||||||||||||||
1 |
17,07 |
17,19 |
22 |
3,14 |
-1,05 |
-0,45 |
-0,3531 |
-0,1736 |
0,1795 |
0.914 |
||||||||
2 |
17,14 |
17,26 |
27 |
3,86 |
-0,45 |
-0.1 |
-0,1736 |
-0,0398 |
0,1338 |
1.383 |
||||||||
3 |
17,21 |
17,33 |
42 |
6 |
-0,1 |
0.25 |
-0,0398 |
0,0987 |
0,1385 |
0.572 |
||||||||
4 |
17,28 |
17,40 |
39 |
5,57 |
0,25 |
0.6 |
0,0987 |
0,2257 |
0,127 |
0.544 |
||||||||
5 |
17,35 |
17,47 |
25 |
3,57 |
0,6 |
0,95 |
0,2257 |
0,3289 |
0,1032 |
2.088 |
||||||||
6 |
17,42 |
17,54 |
9 |
1,29 |
0,95 |
1.3 |
0,3289 |
0,4032 |
0,0743 |
0.331 |
||||||||
7 |
17,49 |
17,61 |
9 |
1,29 |
1,3 |
1.65 |
0,4032 |
0,4505 |
0,0473 |
3.855 |
||||||||
= 9.687
Определим
табличное (критическое) значение
-критерия
Пирсона, задавшись доверительной
вероятностью, равной 0,91 и вычислив по
формуле число степеней свободы:
r = 7 – 3 = 4
12,0170;
Таким образом, с вероятностью 0,91 гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерений напряжения принимается.
Представим результаты в виде доверительного интервала с доверительной вероятностью Р = 0,91.
Для этого определим среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения напряжения по формуле:
=
В
Исходя из того, что закон распределения вероятности результата измерения с вероятностью 0,91 соответствует нормальному, считаем, что, и закон распределения вероятности среднего арифметического тоже соответствует нормальному. Поэтому выбираем параметр t по таблице нормированного нормального распределения вероятности. Для доверительной вероятности Р=0,91 параметр
.
Тогда результат измерения запишется следующим образом:
17,28-1,64490,02≤ U ≤17,28+1,64490,02
или с вероятностью Р=0,91.
17,25 В ≤ U ≤ 17,31В
Если же есть основания полагать, что среднее арифметическое имеет неизвестное, отличное от нормального распределение вероятности, то относительную ширину доверительного интервала рассчитаем по формуле :
0,91 ≥
1
,
t ≤ 3,16
Окончательно результат измерения примет вид:
17,28-0,023,16 ≤ U ≤ 17,28+3,160,02
или с вероятностью Р=0,9
17,22 ≤ U ≤ 17,34
Как видно из сравнения результатов, неизвестность закона распределения вероятности приводит к расширению доверительного интервала, то есть к увеличению дефицита измерительной информации.
Строим саму гистограмму (рис1):
