Баланс мощности

В данном методе осуществляется сравнение двух видов мощности, одна из которых измеряется в системе единиц СИ в ваттах, а другая измеряется в условных электрических единицах. Из определения условного ватта W₉₀, он даёт меру для произведения K_J²R_K в единицах СИ, где R_K есть постоянная Клитцинга, появляющаяся в квантовом эффекте Холла. Если теоретическая трактовка эффекта Джозефсона и квантового эффекта Холла верна, тогда R_K = h/e², и измерение K_J²R_K приводит к определению постоянной Планка:

8. Гипотеза де-Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера. Дифракция электронов, атомов и молекул. Корпускулярно-волновой дуализм. Особенности поведения микрообъектов.

Гипотеза де Бройля заключается в том, что французский физик Луи де Бройль выдвинул идею приписать волновые свойства электрону. Проводя аналогию между квантом, де Бройль предположил, что движение электрона или какой-либо другой частицы, обладающей массой покоя, связано с волновым процессом.

Гипотеза де Бройля устанавливает, что движущейся частице, обладающей энергией E и импульсом p, соответствует волновой процесс, частота которого равна:

а длина волны:

где p - импульс движущейся частицы.

 

Опыт Дэвиссона-Джермера — физический эксперимент по дифракции электронов, проведённый в 1927 г. американскими учёными Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером.

Проводилось исследование отражения электронов от монокристалла никеля. Установка включала в себя монокристалл никеля, сошлифованный под углом и установленный на держателе. На плоскость шлифа направлялся перпендикулярно пучок монохроматическихэлектронов. Скорость электронов определялась напряжением   на электронной пушке:

Под углом   к падающему пучку электронов устанавливался цилиндр Фарадея, соединённый с чувствительным гальванометром. По показаниям гальванометра определялась интенсивность отражённого от кристалла электронного пучка. Вся установка находилась в вакууме.

В опытах измерялась интенсивность рассеянного кристаллом электронного пучка в зависимости от угла рассеяния   от азимутального угла  , от скорости   электронов в пучке.

Опыты показали, что имеется ярко выраженная селективность (выборочность) рассеяния электронов. При различных значениях углов и скоростей, в отражённых лучах наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности. Условие максимума:

Здесь   — межплоскостное расстояние.

Таким образом наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решёткемонокристала. Опыт явился блестящим подтверждением существования у микрочастиц волновых свойств.

Дифракция электронов

Дифракция электронов — процесс рассеяния электронов на совокупности частиц вещества, при котором электрон проявляет свойства, аналогичные свойствам волны. При выполнении некоторых условий, пропуская пучок электронов через материал можно зафиксировать дифракционную картину, соответствующую структуре материала. Процесс дифракции электронов получил широкое применение в аналитических исследованиях кристаллических структур металлов, сплавов, полупроводниковых материалов.

Корпускуля́рно-волново́й дуали́зм — принцип, согласно которому любой объект может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства. Был введён при разработкеквантовой механики для интерпретации явлений, наблюдаемых в микромире, с точки зрения классических концепций. Дальнейшим развитием принципа корпускулярно-волнового дуализма стала концепция квантованных полей в квантовой теории поля.

Как классический пример, свет можно трактовать как поток корпускул (фотонов), которые во многих физических эффектах проявляют свойства электромагнитных волн. Свет демонстрирует свойства волны в явлениях дифракции и интерференции при масштабах, сравнимых с длиной световой волны. Например, даже одиночные фотоны, проходящие через двойную щель, создают на экране интерференционную картину, определяемуюуравнениями Максвелла^[1].

Тем не менее, эксперимент показывает, что фотон не есть короткий импульс электромагнитного излучения, например, он не может быть разделён на несколько пучков оптическими делителями лучей, что наглядно показал эксперимент, проведённый французскими физиками Гранжье, Роже и Аспэ в 1986 году^[2]. Корпускулярные свойства света проявляются при фотоэффекте и в эффекте Комптона. Фотон ведет себя и как частица, которая излучается или поглощается целиком объектами, размеры которых много меньше его длины волны (например, атомными ядрами), или вообще могут считаться точечными (например, электрон).

10 Волновая функция (пси-функция). Нестационарное и стационарное уравнения Шредингера. Операторы физических величин. Гамильтониан.

Волновая функция свободной частицы.

В частности, вероятность найти частицу в данной области пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны, свя­занной с частицей. Математическое выражение, описывающее распростра­нение какой-либо волны в пространстве, носит название волновой функ­ции. Таким образом, для описания движения частиц нужно уметь нахо­дить их волновые функции в различных физических условиях.

Из уравнений Максвелла при некоторых добавочных предположениях можно получить для напряженностей электрического и магнит­ного полей (в пустоте) волновые уравнения

112Equation Chapter 2 Section 1222\* MERGEFORMAT (.)

323\* MERGEFORMAT (.)

где с – скорость света.

Решением этих уравнений является, в частности, плоская моно­хроматическая электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси Ох, в которой векторы напряженностей и перпендикулярны друг другу и направлению распространения. Зависимости и от коор­динаты х и времени t (волновые функции) определяются выражениями

424\* MERGEFORMAT (.)

525\* MERGEFORMAT (.)

где Т – период колебаний, а λ – длина волны.

Так как выражения (2.3) и (2.4) имеют одинаковую структуру, то нам достаточно будет рассмотреть лишь одно из них, например, выражение (2.3). Учитывая, что период связи с частотой ν соот­ношением и что, согласно формулам и , перепишем выражение (2.3) в виде

626\* MERGEFORMAT (.)

где для краткости обозначено .

Естественно считать, что свободной частице, которая движется равномерно и прямолинейно и имеет при этом постоянные импульс Р и энергию Е, соответствует также плоская монохроматическая вол­на. Волновую функцию Ψ, описывающую такую волны, мы запишем в несколько более общем, по сравнению с выражением (2.5) для плос­кой световой волны, комплексном виде

727\* MERGEFORMAT (.)

Здесь P – импульс частицы, направленный не по оси Оx, а в произ­вольном направлении, r₀ – расстояние поверхности равной фазы от начала координат (поверхность равной фазы - плоскость, перпендику­лярная направлению распространения волны, а, следовательно, и им­пульса), a – амплитуда волны.

.

Подставив это в выражение (2.6), получим волновую функцию свободной частицы в виде

828\* MERGEFORMAT (.)

Плотность вероятности.

Вероятность встретить частицу в некоторой малой области пространства пропорциональна не только квадрату амплитуды волновой функции, но и величине объема dV этой области, т.е.

.

С другой стороны, квадрат амплитуды волновой функции (2.7) можно найти, умножив комплексно сопряженную функцию Ψ* на Ψ

Таким образом,

929\* MERGEFORMAT (.)

и, следовательно, квадрат модуля волновой функции

10210\* MERGEFORMAT (.)

представляет собой плотность вероятности найти частицу в данной точке пространства, т.е. вероятность, отнесенную к единице объема. Этот смысл выражение (2.9) сохраняет и в том случае, когда частица не является свободной, и ее волновая функция уже не определя­ется формулой (2.7).

Квадрат амплитуды волновой функции (2.7) для свободной час­тицы – постоянная величина (не зависит от координат частицы). Это значит, что плотность вероятности найти частицу во всех точках пространства одна и та же. С одной стороны, это можно объяснить тем, что плоская монохроматическая волна заполняет все пространство не имея ни начала, ни конца. С другой стороны, плоская монохроматичес­кая волна имеет вполне определенные длину волны λ и направление распространения. Следовательно, величина импульса и его направление также строго определены (известны все три проекции импульса). Если же какая-либо из проекций импульса, на­пример р_х известна точно, то неопределенность Δр_х = 0. Но в этом случае, согласно соотношению неопределенностей ( ) долж­на быть бесконечно большой неопределенность Δх соответствующей координаты, т.е. частица с одинаковой вероятностью может казаться в любой точке пространства.

Операторы.

Нам нужно получить дифференциальное уравнение для волновой функции. Поэтому посмотрим, что получается при дифферен­цировании волновой функции (2.7) по времени и координатам. Продифференцируем сначала выражение (2.7) во времени:

Умножив обе части этого равенства на iћ, получим

11211\* MERGEFORMAT (.)

Математический символ, указывающий, какие действия (операции) нужно совершить над стоящей справа от него функцией, называется оператором. В данном случае оператором является постоянный множи­тель iћ и знак производной по времени , т.е. символ . Этот оператор действует на функцию . В результате действия оператора получается та же функция, умноженная на величину энергии E.

Бели в результате действия оператора на функцию получается та же функция, умноженная на постоянный коэффициент, имеющий смысл не­которой физической величины, то

1. оператору приписывается название этой физической величины; обычно он обозначается той же буквой, что и эта физическая величина, с ломаной линией ("крышечкой") наверху;

2. функция называется собственной функцией этого оператору;

3. коэффициент, на который умножается функция, называется собственным значением оператора.

Таким образом, символ

12212\* MERGEFORMAT (.)

является оператором полной энергии частицы, волновая функция сво­бодной частицы (2.7) - собственной функцией оператора полной энергии, а величина энергии E - собственным значением этого опе­ратора.

Так как в результате дифференцирования волновой функции (2.7) по координатам и умножения полученных выражений на – iћ получается

13213\* MERGEFORMAT (.)

то символы

14214\* MERGEFORMAT (.)

называются операторами проекций импульса.

Функция (2.7) является одновременно собственной функцией операторов всех проекций импульса, в величины проекций – собственными значениями этих операторов.

За оператор координаты принимают саму координату, т.е. . Действие оператора координаты на функцию сво­дится к умножению этой функции на координату.

В частности, квадрат оператора проекции импульса на ось Оx действует на функцию Ψ следующим образом:

Действие квадратов других проекций импульса аналогично. Следовательно,

15215\* MERGEFORMAT (.)

В квантовой механике при помощи сложения и умножения из опера­торов составляют новые операторы, которые носят название физических величин, по аналогии с которыми они составлены. Например, частица массы m с импульсом p имеет скорость . Так как квад­рат импульса частицы , то кинетическая энергия этой частицы

16216\* MERGEFORMAT (.)

Если в этом выражении квадраты проекций импульса, заменить соответствующими операторами (2.14), то получится оператор кинети­ческой энергии

17217\* MERGEFORMAT (.)

Здесь – дифференциальный оператор, который в математике носит название оператора Лапласа.

При двукратном дифференцировании волновой функции свободной частицы (2.7) по какой-либо координате функция умножается на и на квадрат соответствующей проекции импульса. Поэтому, действуя оператором на волновую функцию (2.7), найдем

18218\* MERGEFORMAT (.)

т.е. в этом случае получается та же функция, умноженная на величину кинетической энергии.

Уравнение Шредингера.

Чтобы иметь представление о свойствах дифференциального уравнения, которому должна удовлетворять волновая функция частицы, рассмотрим волновое уравнение (2.1) для напряжен­ности электрического поля. Продифференцировав (2.5) дважды по x и по t, найдем

Подставив эти выражения для производных в уравнение (2.1) и сократив на общие множители, получим после извлечения квадратного корня из обеих частей равенства

т.е. подстановка волновой функции в волновое уравнение в случае плоской монохроматической электромагнитной (световой) волны приводит к соотношению между энергией и импульсом для светового кванта.

Будем считать, что в случае свободной частицы, волновая функ­ция которой (2.7) также соответствует плоской монохроматической волне, волновое уравнение должно удовлетворять этому же условию, т.е. после подстановки в него волновой функции должно получиться соотношение между энергией и импульсом частицы. Свободная частица имеет только кинетическую энергию. Поэтому ее полная энергия связана с импульсом p, согласно формуле (2.15), соотношением

19219\* MERGEFORMAT (.)

Дифференцирование волновой функции мы можем заменить действием на нее операторов. В частности, мы нашли, что волновая функция свобод­ ной частицы (2.7) умножается в результате действия на нее опера­тора полной энергии (2.11) на величину E энергии частицы, а в результате действия оператора кинетической энергии (2.16) на ве­личину . Поэтому, если мы напишем уравнение для волновой функции частицы (2.7) в виде

20220\* MERGEFORMAT (.)

то после действия операторов получится

и после сокращения на Ψ будет выполнено соотношение (2.18).

Если в уравнение (2.19) подставить выражения для операторов, мы придем к дифференциальному уравнению для волновой функции свобод­ной частицы, удовлетворяющему сформулированному выше условию:

21221\* MERGEFORMAT (.)

Само по себе это уравнение не дает ничего нового, так как его ре­шением являются волновые функции вида (2.7) для свободной час­тицы, которые были использованы для составления уравнения. Кроме того, практически всегда приходится иметь дело не со свободными частицами, а с частицами, взаимодействующими друг с другом или подвергающимися воздействию какого-либо поля. Таким образом, урав­нение (2.20) следует видоизменить, чтобы в нем учитывались воздей­ствия, которым подвергается частица.

Полная энергия частицы, подвергающейся какому-либо воздействию, складывается из кинетической энергии T и потенциальной энергии U. Поэтому можно предположить, что уравнение (2.19) в случае частицы, подвергающейся воздействию, должно быть заменено уравнением

22222\* MERGEFORMAT (.)

где – оператор потенциальной энергии. Примем в качестве гипо­тезы, что оператор потенциальной энергии совпадает с самой потенциальной энергией U.

Тогда, заменив в уравнении (2.21) операторы их выражениями, нридем к уравнению

23223\* MERGEFORMAT (.)

Это уравнение называется уравнением Шредингера и является основным уравнением квантовой механики. Поскольку мы пришли к этому уравнению после целого ряда предположений (комплексная вол­новая функция, соответствие между операторами и физическими вели­чинами, вид оператора потенциальной энергии), то следствия, выте­кающие из этого уравнения, должны быть проверены на опыте. Как уже говорилось выше, эти следствия очень хорошо подтверждаются опытны­ми фактами. Следует только отметить, что уравнение (2.22) верно лишь при описании движения частиц, скорость которых значительно меньше скорости света, так как соотношение (2.15) между кинетичес­кой энергией и импульсом справедливо лишь при этом условии. В ре­лятивистском же случае для описания волновых свойств частицы сле­дует пользоваться другими уравнениями (Дирака, Клейна-Гордона).

Уравнение Шредингера в стационарном случае. Вообще говоря, потенциальная энергия U зависит от координат частицы и времени и времени t. Если же U от времени не зависит (стационарное движение) и, следовательно, полная энергия E также не меняется с течением времени, то волновую функцию можно представить в виде двух сомножителей:

24224\* MERGEFORMAT (.)

Первый сомножитель зависит только от времени, а второй - толь­ко от координат. Подставив волновую функцию (2.23) в уравнение (2.22), получим, учитывая, что в левой части уравнения нужно диф­ференцировать только первый множитель, а в правой - только второй:

Сократив на , найдем уравнение для функции (так называемое стационарное уравнение Шредингера)

25225\* MERGEFORMAT (.)

Здесь E – величина полной энергии – постоянное число.

Плотность вероятности в стационарном случае равна квадрату модуля функции , так как

26226\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, чтобы найти плотность вероятности в стационар­ном случае, нужно решить уравнение (2.24) при заданной зависимос­ти потенциальной энергии частицы от ее координат. Всякое дифферен­циальное уравнение имеет единственное решение лишь при определен­ных условиях, накладываемых на функцию. Эти условия обычно опреде­ляются физическим смыслом функции и ее значениями на границах области. Естественно считать, что плотность вероятности есть непре­рывная функция координат, везде конечная и однозначная. Очевидно, эти же условия должны выполняться и для функции . Кроме того, чтобы можно было пользоваться уравнением, в которое входят вторые производные функции по координатам, необходимо, чтобы эти вторые производные существовали, а для этого нужно, что­бы первые производные были также непрерывными и конечными.

Разделим возможные случаи движения на два вида:

1. Потенциальная энергия такова, что при заданной полной энергии частица находится в ограниченной области пространства. Тогда вероятность того, что частица находится внутри этой области, представляет собой вероятность достоверного события. Принято считать, что вероятность достоверного события равна единице. Разобьем эту область на элементарные объемы dV. Вероятность найти частицу в каждом таком объеме, согласно формулам (2.8) и (2.25), . Вероятность же W того, что частица находится внутри области в любом из этих объемов, равна сумме вероятностей dW (согласно формуле о сложении вероятностей). В данном слу­чае суммирование сводится к интегрированию по объему V всей области и, следовательно,

27227\* MERGEFORMAT (.)

Это условие называется условием нормировки, а функции, удовлет­воряющие ему - нормированными функциями. Если функция Ψ не нор­мирована, то ее можно нормировать, умножив на постоянный множитель. Область, в которой находится частицн, может занимать и все простран­ство. Однако при этом нужно потребовать, чтобы функция Ψ убывала с расстоянием r от начала координат быстрτе чем 1/r, иначе интеграл (2.26) обращается в бесконечность.

2. Частица может уйти в бесконечность, как, например, в случае свободного движения, когда решением уравнения (2.22) является плос­кая волна (или сумма плоских волн), и плотность вероятности не уменьшается с увеличением расстояния от начала координат. В таких случаях условие нормировки оказывается более сложным. Им, однако, практически пользуются редко, так как в большинстве случаев доста­точно знать отношение плотностей вероятности в различных областях пространства.

11 Условия, накладываемые на волновую функцию. Условие нормировки. Частица в одномерной потенциальной яме. Квантование энергии. Собственные функции. Принцип суперпозиции.

Частица в одномерной потенциальной яме.

В качестве примера рассмотрим решение уравнения Шредингера (2.24) для частицы, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и движущейся вдоль координатной оси Оx (одномерное движение). График потенциальной энергии U(x) для этого случая приведен на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Потенциальная энергия равна нулю при (область I) и бесконечно велика при и (области 2 и 3). Возрастание потенциальной энергии скачком от нуля до бесконечности соответствует тому, что при приближении частицы, находя­щейся внутри ямы (в области I) к стен­кам (точкам и ) возникают бесконечно большие силы, препятствующие движению частицы. Рассматриваемый здесь случай весьма идеализирован, однако на нем хорошо видны особенности решения задач квантовой ме­ханики в случае движения частицы в ограниченной области.

При одномерном движении вдоль оси Оx волновая функция зависит лишь от одной переменной x, ее производные и равны нулю, и уравнение (2.24) в области 1 (U = 0) принимает вид

или

28228\* MERGEFORMAT (.)

Здесь E > 0, поскольку потенциальная энергия U = 0, а полная энергия больше потенциальной.

Чтобы решить уравнение (2.27), нам нужно найти такую функцию Ψ(x), вторая производная которой по x пропорциональна самой функции, взятой с обратным знаком. Как известно, такой функцией в самом общем случае является

29229\* MERGEFORMAT (.)

где C, β, α – неизвестные постоянные, которые следует определить при помощи дополнительных условий, накладываемых на волновую функ­цию.

Чтобы найти постоянные α и β, рассмотрим значения, которые функция Ψ(x) принимает на границах области 1, т.е. при x = 0 и при x = l. В области 2 и 3 частица проникнуть не может, поэтому внутри них волновая функция тождественно равна нулю. Так как волно­вая функция должна быть непрерывной, то функция (2.28) при x = 0 и при x = l также должна обращаться в нуль. Следовательно, откуда и . Условие выполняется теперь при , где n – целое число, т.е. необ­ходимо, чтобы

30230\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, мы имеем целый набор волновых функций вида

31231\* MERGEFORMAT (.)

удовлетворяющих условиям на границах области и соответствующих различным значениям n.

Величину коэффициента С можно найти при помощи условия норми­ровки. В одномерном случае представляет собой вероятность найти частицу в интервале dx. Так как частица не может выйти из области l, то вероятность найти ее внутри этой области (вероятность достоверного события)

32232\* MERGEFORMAT (.)

Вычислим величину интеграла

Сделав замену переменной

и учитывая известную формулу

получим после ряда преобразований

Согласно условию нормировки (2.31), .

Следовательно, , и волновая функция

33233\* MERGEFORMAT (.)

Чтобы окончательно убедиться в справедливости полученного решения, представим волновую функцию (2.32) в исходное уравнение (2.27):

После сокращения общих множителей получим

т.е. уравнение (2,27) удовлетворяется не при любых значениях энергии частицы, а лишь при некоторых значениях, зависящих от целого числа n:

34234\* MERGEFORMAT (.)

Итак, для описания движения частицы в потенциальной яме с бесконечными стенками мы получили набор волновых функций (2.32) и ряд соответствующих этим функциям отдельных "дозволенных" значений (2.33) энергии частицы – так называемый дискретный энергетический спектр. Значения энергии и волновые функции опреде­ляют состояние, в котором находится частица, и зависят от кванто­вого числа n. Это число может принимать целые положительные зна­чения, начиная с единицы (n = 1, 2, 3,…).

а) б) в)

Рис. 2.3

На рисунке 2.3 изображены:

1. три первых значения полной энергии частицы, нанесенных на график потенциальной энергии. Эти значения энергии на графике изображаются прямыми горизонтальными линиями, так как полная энергия не зависит от положения частицы, и называются поэтому уровнями энергии;

2. волновые функции, со­ответствующие этим значениям энергии;

3. зависимость плотности вероятности |Ψ(x)|² для этих трех случаев от координаты частицы x.

Заметим, что в классическом случае, в отличие от квантового, когда движение частицы описывается законами Ньютона, плотность ве­роятности нахождения частицы одинакова в любом месте потенциальной ямы с горизонтальным дном. В самом деле, в этом случае кинетическая энергия постоянна. Следовательно, постоянна и скорость частицы. Поэтому в одинаковых интервалах dx частица находится одинаковые промежутки времени.

Что же касается квантования энергии, т.е. существования отдельных строго определенных значений энергии, то вообще это характерная особенность квантового движения частицы не только в данном случае, но и всегда, когда движение частицы происхо­дит в ограниченной области.

12Прохождение частиц через потенциальный барьер. Коэффициенты отражения и прозрачности. Туннельный эффект.

Прохождение частиц через потенциальный барьер (туннельный эффект).

В классическом случае наглядной моделью прохождения частицы через потенциальный барьер может служить перекатывание шарика (без трения) через горку, лежащую на его пути. Потенциальная энергия шарика в поле силы тяжести про­порциональна высоте точек горки, в которых находится ша­рик. Поэтому график потенциальной энергии шарика (рис. 2.4) также имеет вид горки (отсюда и название "потенциальный барьер").

По мере вкатывания шарика на горку возрастает его потенци­альная энергия и убывает кинетическая, в то время как полная энергия шарика Е, согласно закону сохранения энергии, оста­ется постоянной (на графике она изображается прямой горизонталь­ной линией - уровнем энергии). Если полная энергия шарика меньше максимальной потенциальной энергии барьера , то шарик вкатится на горку лишь до точки с координатой потенциальная энергия в которой равна полной энергии, а затем скатится обрат­но. Если же полная энергия шарика больше максимальной потенциаль­ной энергии, то шарик перекатится через горку. Поскольку мы здесь при описании движения шарика пользовались только законом сохра­нения энергии, то эти рассуждения будут верны и для описания движения частицы в случае потенциальной энергии любого происхождения, лишь бы график ее имел вид барьера.

С точки зрения квантовой механики, когда существенны волновые свойства, прохождение частиц через потенциальный барьер больше похож на прохождение света через слой вещества, на грани­цах которого меняется показатель преломления. В самом деле, при прохождении частицы через потенциальный барьер в области барьера меняется кинетическая энергия частицы. Следовательно, меняется ее импульс и связанные с импульсом длина волны и скорость частицы, совершенно аналогично тому, что при прохождении света через гра­ницу, разделяющую среды с различными показателями преломления, меняется длина волны и скорость распространения света.

Как известно, при падении света на границу, разделяющую среды с различными показателями преломления, световая волна частич­но проходит через эту границу (преломляется), частично же отража­ется и идет в обратном направлении. Для частиц в случае прохожде­ния потенциального барьера мы вправе также ожидать наличие прохо­дящей и отраженной волн. Поскольку волны, связанные с частицами, определяют вероятность поведения частиц, то можно сказать, что для частицы, падающей на потенциальный барьер, существует вероят­ность как пройти через этот барьер, так и отразиться от него об­ратно. Иначе говоря, если на барьер падает пучок частиц одинаковой энергии, то некоторые частицы из этого пучка проходят через барьер, другие же от него отражаются.

Рис. 2.4 Рис. 2.5

Вероятность прохождения (коэффициент проницаемости барьера, или его прозрачность) можно определить как отношение числа частиц, прошедших барьер в течение некоторого времени, к числу частиц, падающих на барьер за это же время.

Мы рассмотрим прохождение частиц через потенциальный барьер простейшей прямоугольной формы в одномерном случае, т.е. будем считать, что потенциальная энергия U(x) частицы, движущейся вдоль оси Ох (рис. 2.5), равна нулю при x < 0 (область I), постоянна и равна по величине U₀ при (область 2) и снова равна нулю при (область 3). Учитывая, что при одно­мерном движении вдоль оси Оx производные волновой функции и равны нулю, напишем для каждой из трех областей стационарное уравнение Шредингера (2.24) в виде:

35235\* MERGEFORMAT (.)

где для краткости введены обозначения

36236\* MERGEFORMAT (.,а)

(2.35,б)

Решениями этих уравнений в самом общем виде являются функции

372\* MERGEFORMAT (.36,a)

(2.36,б)

(2.36,в)

где – коэффициенты, значения которых нужно определить при помощи дополнительных условий, накладываемых на волновую функцию.

Функции представляют собой, по сути дела, волновые функции свободной частицы. В самом деле, согласно (2.15) квадрат импульса p² частицы связан с ее кинетической энергией T соотно­шением . Но T = E в областях I и 3 и T = E – U₀ в облас­ти 2. Поэтому

и

где p₁ – импульс частицы в областях I и 3 и p₂ – импульс части­цы в области 2 (при E > U₀). Чтобы получить полную волновую функ­цию, нужно согласно (2.23), умножить Ψ(x) на . В частности, в области I полная волновая функция будет иметь вид

В этом выражении первый член представляет собой волну вида (2.22), распространяющуюся слева направо (в положительном направ­лении оси Оx), а второй член, в котором импульс имеет противопо­ложный знак по сравнению с импульсом в первом члене - волну, рас­пространяющуюся справа налево. Волна, распространяющаяся слева на­право, соответствует частицам, движущимся в сторону барьера. Вол­на, распространяющаяся в противоположную сторону, представляет собой отраженную от барьера волну и соответствует частицам, движущимся от барьера налево.

Решение (2.36,в) в области 3 также содержит волны, распространяю­щиеся в обе стороны. Однако если мы примем, что на барьер падают частицы, движущиеся в положительном направлении оси Ох, то справа от барьера могут оказаться лишь частицы, прошедшие через барьер и движущиеся в том же направлении. Чтобы учесть это обстоятельство, мы исключим в области 3 волну, распространяющуюся в сторону барье­ра, положив равным нулю коэффициент b₃.

В области 2 вид решения зависит от того, что больше - потен­циальная энергия U₀ или полная энергия E. Если E > U₀, то правая часть в формуле (2.35,б) положительна, q – действительное число и решение (2.36,б) также содержит две волны: волну, прошедшую через левую границу (х = 0) барьера, и волну, отразившуюся от его правой границы (x = l).

Коэффициент a₁ в выражении (2.36,a) связан с интенсивностью пучка частиц, падающего на барьер, и поэтому может быть задан про­извольно. Оставшиеся четыре коэффициента , как мы увидим в дальнейшем, при любой энергии E частицы однозначно определяются при помощи дополнительных условий, накладываемых на волновую функцию. Таким образом, в областях I и 2, согласно квантовой механике, должны существовать волны, отраженные от левой и правой границ барьера. Это значит, что если даже энергия частицы больше максимальной энергии барьера, некоторая доля частиц от барь­ера отражается обратно. В классической механике, как уже упомина­лось, такой эффект невозможен. В то же время наличие волны, прошед­шей через барьер (коэффициент a₃ не равен нулю), не противоречит в этом случае выводам классической механики.

Рассмотрим подробнее более интересный случай, когда полная энергия E частицы меньше высоты барьера U₀, и законы класси­ческой механики вовсе не разрешают частице пройти через этот барь­ер. В этом случае, согласно формуле (2.35,б), – мнимое чис­ло, причем

38238\* MERGEFORMAT (.)

Учитывая значение q, а также то, что b₃ = 0, перепишем функции, представляющие решение уравнений (2.34), в виде:

39239\* MERGEFORMAT (.,а)

(2.38,б)

(2.38,в)

Здесь для удобства дальнейших выкладок функцию Ψ₃ мы умножили на постоянный множитель .

Заметим еще, что в области 2 функция (2.38,б) уже не соответ­ствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент в этом случае не мнимые, а действитель­ные.

Чтобы найти коэффициенты при произвольном коэффициенте а₁, воспользуемся дополнительными условиями, накла­дываемыми на волновую функцию. Так как наша волновая функция представлена в областях 1,2 и 3 тремя различными формулами (2.38,а, б, в), то мы должны потребовать, чтобы в точках, лежащих на границах областей, т.е. при х = 0 и x = l, волновая функция и ее производная по х были бы непрерывными. Найдем производные функций (2.38,а, б, в):

40240\* MERGEFORMAT (.,а)

(2.39,б)

(2.39,в)

Приравнивая при х = 0, при x = l, получим систему четырех уравнений для определения четырех коэффициентов :¹

41241\* MERGEFORMAT (.,а)

(2.40,б)

(2.40,в)

(2.40,г)

Коэффициентом проницаемости D потенциального барьера мы назвали отношение числа прошедших через барьер частиц к числу час­тиц, падающих на него за то же время. Эта величина равна отноше­нию вероятности встретить частицу после прохождения барьера по его правую сторону к вероятности встретить частицу в падающем на барь­ер .пучке частиц. Так как вероятности пропорциональны квадратам модулей амплитуд соответствующих волн, то

42242\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, чтобы найти коэффициент проницаемости, нам достаточно из уравнений (2.40,а, б, в, г) найти отношение . Для этого выразим из уравнений (2.40,в, г) коэффициенты через коэффициент :

43243\* MERGEFORMAT (.,а)

(2.42,б)

Чтобы упростить вычисления, будем считать, что , как это часто бывает в практически важных случаях. Тогда в уравнениях (2.40,а, б) можно пренебречь коэффициентом а₂ по сравнению с b₂, а затем исключить из этих уравнений коэффициент b₁. В результате, учитывая (2.42,а), получим

Отсюда

и, следовательно, согласно (2.41), коэффициент проницаемости барьера

Подставив сюда значения , определяемые формулами (2.35,а) и (2.37), найдем

При E < U₀, когда , величина лежит в пределах от нуля до четырех. При грубых расчетах ее обычно полагают равной единице. Поэтому окончательно коэффициент прони­цаемости потенциального барьера прямоугольной формы приближенно можно вычислить по формуле

44244\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, хотя по законам классической механики при E < U₀ частица не в состоянии преодолеть потенциальный барьер, в квантовой механике коэффициент проницаемости барьера отличен от нуля и может достигать заметной величины, если малы разность (U₀ – E) и ширина барьера l. Например, для электронов при (U₀ – E) = 1 эВ и l = 5·10^–8 см, D ≈ e^–5,1 ≈ 0,006, т.е. через барьер проходит шесть электронов из каждой тысячи.

С классической течки зрения прохождение частицы через барьер при E < U противоречит закону сохранения энергии. С квантовой точки зрения такого противоречия нет. Чтобы убедиться в этом, обратимся к соотношению неопределенностей. Если мы хотим определить, прошла частица через барьер или нет, мы должны изме­рить ее координату x с ошибкой Δx, не превышающей ширину барьера l. Следовательно, ошибка в импульсе p_x частицы должна быть

С другой стороны, чтобы коэффициент проницаемости D не был слишком мал, необходимо, чтобы показатель степени в формуле не был слишком велик. Например, если , то (напомним, что ).

Поэтому будем считать, что .

Тогда

45245\* MERGEFORMAT (.)

Заметим теперь, что если частице добавить кинетическую энер­гию и, следовательно, согласно (2.15), сообщить им­пульс , то она сможет пройти через барьер без нарушения закона сохранения энергии. Из неравенства (2.44) следует, что сообщенный частице импульс должен быть меньше неопре­деленности в импульсе. Иначе говоря, при прохождении частицы через потенциальный барьер в квантовой механике энергия сохраняется с точностью, которая вообще допустима при одновременном измерении координат и импульса частицы.

При помощи формулы (2.43) можно найти коэффициент проницае­мости D и в случае барьера произвольной формы. Для этого пред­ставим такой барьер в виде суммы элементарных прямоугольных барьеров равной ширины Δx (рис. 2.6). Высота элементарного барьера равна значению потенциальной энергии U(x) в середине промежутка Δx. Коэффициенты проницаемости каждого из них по отдельности будут

Здесь учтены лишь те из элементарных барьеров, для которых E < U(x), так как при E > U(x) коэффициент проницаемости очень близок к единице.

Рис. 2.6

Вероятность прохождения частицы через весь барьер представляет собой вероятность сложного собы­тия, состоящего из прохождения частицы через все элементарные барьеры, и равна произведению вероятностей прохождения через каждый элементарный барьер по отдельности (согласно теореме об умножении вероятностей). Следовательно, коэффициент проницаемости всего барьера

При стремлении Δx к нулю сумма в показателе степени переходит в интеграл, пределами которого являются координаты точек x₁ входа частицы в барьер и x₂ выхода ее из барьера.

Таким образом, коэффициент проницаемости в случае барьера произвольной формы

.

Прохождением частиц через потенциальный барьер объясняется целый ряд явлений: внешняя контактная разность потенциалов при соприкосновении разнородных проводников, холодная эмиссия электронов (испускание электронов с поверхности проводника при напряженности электрического поля вблизи этой поверхности свыше 100 кэВ/см), некоторые особенности ядерных реакций, α-распад ядер и т.д.

13 Гармонический осциллятор. Нулевая энергия гармонического осциллятора. Правила отбора.

Правилами отбора в спектроскопии называют ограничения и запрет на переходы между уровнями квантомеханической системы с поглощением или излучением фотона, наложенные законами сохранения и симметрией

Более детальный расчет, выходящий за рамки уравнения Шредингера, показывает, что для квантового осциллятора возможны переходы лишь между соседними «стационарными» уровнями, при которых квантовое число n изменяется на единицу:

(12.30)

Это условие называют правилом отбора для квантового гармонического осциллятора.

Из правила (12.30) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями ћω. Планк предполагал, что энергия гармонического осциллятора может быть лишь целой кратной ћω. В действительности же имеется еще нулевая энергия, существование которой было установлено только после создания квантовой механики.

Гармонический осциллятор

Разрешенные переходы гармонического осциллятора удовлетворяют правилу отбора:

,

где n_f и n_i — квантовые числа конечного и начального состояния соответственно. То есть, переходы могут происходить только между соседними состояниями. Учитывая то, что состояния гармонического осциллятора эквидистантны, это приводит к существованию в спектре излучения или поглощения единой линии.

[править

]Магнитное квантовое число

Для магнитного квантового числа

 .

Свет, который испускается при переходе с  , линейно поляризован. При переходах с   испускается циркулярно поляризованный свет.

[править

Квантовое число полного момента

Для квантового числа полного момента многоэлектронной системы

 .

Кроме того, запрещены переходы между состояниями, в которых оба квантовых числа полного момента равны нулю.

[править]

Орбитальное квантовое число

Для орбитального квантового числа

 .

Если говорить о многоэлектронных системах в атомах, то нужно учитывать следующие правила отбора: 1. Переходы между термами разной мультиплетности запрещены. 2. Магнито-дипольные переходы запрещены, если меняется радиальное квантовое число. 3. Переходы EL имеют четность (-1)^L , переходы ML — (-1)^L+1. 4. Для переходов EL и ML имеет место неравенство  ,где   — изменение орбитального квантового числа,   и   — начальный и конечный полный момент.

.

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора. Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний,  . По горизонтали отложена координата  , по вертикали — значение волновой функции  . Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

В координатном представлении   ,  . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для

решение имеет вид:

функции   — полиномы Эрмита:

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна  , во-вторых наименьшее значение энергии равно  . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

[править]Операторы рождения и уничтожения

Основная статья: Вторичное квантование

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения:

Оператор уничтожения:

Их коммутатор равен

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

,

где   — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные вектора такого гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

[править]Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния   равна

Осциллятор (от лат. oscillo - качаюсь), физическая система, совершающая колебания. Термином «Осциллятор» пользуются для любой системы, если описывающие её величины периодически

меняются со временем.

(короткий ответ про гормонический осцилятор)

 Квантовый Осциллятор В квантовой механике задача о линейном (с одной степенью свободы) гармоническийОсциллятор решается с помощью Шрёдингера уравнения, в котором потенциальная энергия полагается равной U = kx²/2. При этом оказывается, что решение существует лишь для дискретного набора значений энергии    , n = 0, 1, 2, …, где   - Планка постоянная. Важной особенностью энергетического спектраОсциллятор является то, что уровни энергии E_n расположены на равных расстояниях. Т. к. отбора правила разрешают в данном случае переходы только между соседними уровнями, то, хотя квантовый Осциллятор имеет набор собственных частот w_n= E_n / , излучение его происходит на одной частоте w, совпадающей с классической:  . В отличие от классического Осциллятор, наименьшее возможное значение энергии (при n = 0) квантового Осцилляторравно не нулю, а  w /2 (нулевая энергия).   Понятие Осциллятор играет важную роль в теории твёрдого тела, в теории электромагнитного излучения, в теории колебательных спектров молекул.

14 Уравнение Шредингера для атома водорода. Разделение переменных. Уровни энергии атома водорода. Волновые функции и распределение плотности вероятности. Момент импульса электрона и его проекции.

Результат решения уравнения Шредингера для атома водорода

Атом водорода представляет собой систему, состоящую из элек­трона, который обращается в кулоновском поле ядра (протона). Потенциальная энергия такой системы не зависит от времени и равна:

.

Эту величину следует подставить в стационарное уравнение Шредингера (6) и решить его с учетом стандартных условий, накла­дываемых на волновую функцию. Так как силовое поле, создаваемое ядром, сферически симметрично, то решать эту задачу удобнее в сферических координатах . Результат решения сводится к следующему. Уравнение решается только при определенных, образующих дискретный ряд, значениях параметра :

(7)

где m и e – масса и заряд электрона, n = 1,2,3....

Эти значения и являются возможными (разрешенными) значениями энергии атома водорода. Возможные волновые функции электрона в атоме водорода могут быть записаны в виде произведения трех составляющих, каждая из которых зависит от одной из координат сферической системы

(8)

где – так называемый первый боровский радиус, равный

.

Уравнение Шредингера решается функциями (8) лишь при определенных значениях чисел n, l, m, которые взаимосвязаны следующим образом:

(9)

Значения коэффициентов и в выражении (8) находятся для каждого состояния исходя из условия нормировки (3), которое в сферических координатах распадается на три условия:

(10)

Возьмем, например, . Энергия атома в этом случае минимальна (основное состояние) и равна

эВ.

Остальные два квантовых числа l и m могут иметь только нуле­вые значения и энергии соответствует только одна волновая функция (вырождение отсутствует).

При квантовое число l может принимать значения 0 и 1, причем при , а при . В конечном счете значению соответствуют четыре различных состояния, описываемые волновыми функциями и каждому из них соответствует одна и та же энергия (четырех­кратное вырождение). Схематично:

Аналогично, при возможны 9 состояний, описываемых волновыми функциями:

и во всех этих состояниях атом обладает одной и той же энергией (девятикратное вырождение).

Рассмотрим конкретный вид нескольких первых волновых функций.

1. . Подставляя эти значения в (8), получим:

(11)

Применение условий нормировки дает:

Подставляя эти значения в (11), получим волновую функцию основного (невозбужденного) состояния атома водорода

(12)

Так как эта функция не зависит от углов и (сферически симметрична), то вероятность обнаружить электрон на данном рас­стоянии от, ядра будет одинакова по всем направлениям. Най­дем вероятность нахождения электрона в пределах элементарного слоя, ограниченного сферами радиусами и (рис.1).

Р и с. 1

Объем этого слоя и соответствующая вероятность, согласно (1) и (12), запишется:

Введем радиальную плотность вероятности следующим образом:

(13)

Графически эта функция изображается кривой, приведенной на рис. 2. Максимум кривой при свидетельствует о том, что для атома водорода, находящегося в основном состоянии, наиболее вероятное удаление электрона от ядра соответствует первому боровскому радиусу.

2. При для волновой функции, согласно (8) при учете (10) можно получить

             

         (r)

Р и с. 2

Эта функция также сферически симметрична, поэтому и здесь естес­твенно ввести радиальную плотность вероятности, которая запишет­ся следующим образом

(14)

3. При волновая функция имеет вид:

(15)

4. При

(16)

5. При

Если вероятность нахождения электрона в сферическом слое толщиной , удаленном на расстоянии от ядра, равна , то величина, введенная как называется радиальной плотностью вероятности. Если зависимость задана графически, то величина определяется как площадь прямоугольника с основа­нием и высотой , восстановленного на расстоянии от начала координат (площадь заштрихованного прямоугольника).

1. Момент импульса и его проекция. Квантовые числа и .

15 Классификация состояний и спектр атома водорода. Главное, азимутальное и магнитное квантовые числа. Правила отбора. Вырождение энергетических уровней (кратность вырождения).

Квантовые числа , и . Классификация состояний. Спектр атома водорода

Многие проблемы теории атома были разрешены после создания в 20-х годах нашего века “новой “ квантовой механики, которая существует в нескольких разновидностях, но наиболее распространена в виде так называемой волновой механики. В ее основе лежит уравнение Шредингера

(3)

где = h/2 – постоянная Планка,

 – оператор Лапласа,

– потенциальная энергия,

– волновая функция,

E – полная энергия.

Информация о данной конкретной задаче вводится в уравнение (3) в виде потенциальной энергии , после чего находят функции , которые решают это дифференциальное уравнение 2-го порядка, и возможные значения энергии E. Возможные состояния описываются волновыми функциями , квадрат модуля которой определяет вероятность того, что частица находится в объеме dV:

(4)

или, другими словами, есть плотность вероятности (вероятность, отнесенная к единице объема) нахождения частицы в данном пространстве

(5)

Следует отметить, что в стационарном уравнении Шредингера (3) переменными являются координаты и его решением являются функции, зависящие только от координат . Однако, существует и временное уравнение Шредингера, которое наряду с координатами содержит в качестве переменной и время t; решением такого уравнения являются функции вида . Однако, в случае замкнутых систем полная энергия остается постоянной, а потенциальная энергия зависит только от координат и не зависит от времени, и в этом случае можно ограничиться решением стационарного уравнения Шредингера.

Для атома водорода потенциальная энергия системы протон-электрон имеет вид:

.

После подстановки этого выражения в уравнение Шредингера (3) и его решения, получают волновые функции электрона и возможные значения энергии атома водорода:

(6,а)

и (6,б)

Волновые функции как функции сферических координат имеют вид полиномов, вид и количество членов в которых определяется комбинациями взаимосвязанных квантовых чисел , которые принимают значения:

главное квантовое число n = 1,2,3,…;

орбитальное квантовое число l = 0,1,2,…n-1; (7)

магнитное квантовое число

Характерно, что энергии атома оказываются дискретными (см. первый постулат Бора) и определяются только одним главным квантовое числом n.

Далее, применяя так называемый операторный метод, из волновой функции можно получить возможные значения орбитального момента импульса электрона и его проекций на выделенное направление , которое выражается через квантовые числа l и m_l соответственно:

(9)

Далее следует отметить, что электрон, независимо от того, находится ли он в атоме или свободен, обладает так называемым спиновым моментом импульса N_s, который может иметь две проекции на выделенное направление N_sz. Это явление может быть формально описано по аналогии с орбитальным моментом импульса как:

где (10)

где . (11)

s и m_sспиновые квантовые числа, которые для одного электрона имеют строго определенные приведенные выше значения. В отличие от орбитального, спиновый момент импульса не является следствием решения уравнения Шредингера, а был введен для объяснения некоторых экспериментальных фактов (например, опыта Штерна и Герлаха) и иногда истолковывается как некий релятивистский эффект. Спин оказывает определенное влияние на свойства атома, поскольку спиновый и орбитальный моменты должны складываться в результирующий момент импульса электрона N_j со своими возможными проекциями N_jz , которые аналогично записываются через свои квантовые числа j и m_j:

(12)

(13)

Этот момент импульса N_j называют полным, спин-орбитальным или внутренним моментом электрона. Для определения N_j и N_jz необходимо знать значения квантовых чисел j и m_j, которые находят из известных квантовых чисел l, s, m_l, m_s по правилу:

(14)

(15)

причем в последнем выражении (15) имеется в виду последовательное алгебраическое сложение всех возможных значении m_l и m_s .

Таким образом, атом водорода можно описать с помощью квантовых чисел n, l, m_l, s, m_s, j, m_j, которые определяют волновые функции, энергии, соответствующие моменты импульса и их проекции. В каждом конкретном случае можно использовать те квантовые числа, которые наиболее удобны и полезны для описания того или иного явления. Так, весьма существенно знать как влияет спин и его взаимодействие с орбитальным моментом (спиноорбитальное взаимодействие) на возможные значения энергии атома водорода. Эта задача была решена Арнольдом Зоммерфельдом (1916 г.) и Полем Дираком (1928 г.), которые из независимых соображений получили следующее выражение:

(16)

где   постоянная тонкой структуры, равная 1/137.

По виду этого выражения можно сказать, что энергия атома водорода определяется прежде всего главным квантовым числом n и, в силу малости , лишь слегка зависит от спин-орбитального квантового числа j. Таким образом, для энергетического описания атома водорода необходимо знать возможные значения двух квантовых чисел n и j, однако, для нахождения j нам, согласно (14), надо знать также значения l и s. Интересующие нас квантовые числа принимают следующие значения:

n = 1,2,3, … s = 1/2

l = 0,1,2, … n–1 j = |l–s|, … (l+s).

Остальные квантовые числа ни прямо, ни косвенно на энергию не влияют; по этим квантовым числам имеет место вырождение.

Рассмотрим несколько первых возможных состояний атома водорода с учетом спин-орбитального взаимодействия. Энергия атома будет минимальной при n = 1, тогда l может иметь только одно значение l = 0, а поскольку для одного электрона всегда s = 1/2, то:

Это состояние в спектроскопических обозначениях записывается как 1s_1/2 , где первая цифра есть значение главного квантового числа n, индекс справа внизу – значение спин-орбитального квантового числа j, а буква указывает на значение орбитального квантового числа l по схеме:

(17)

При возбуждении атом перейдет в состояние с n = 2. Тогда возможны два значения l= 0, 1 с такими вытекающими последствиями:

Таким образом, получаются три состояния, причем состояния 2s_1/2 и 2p_1/2 обладают одинаковой энергией, поскольку имеют одинаковые значения n и j, а 2p_3/2 обладает немного большей энергией в силу отличия по j. Однако, все эти состояния значительно энергетичней состояния 1s_1/2 из-за различия в значениях n (см. рис.1).

В случае n = 3, l = 0,1,2 имеем:

Соответствующие состояния изображены на рисунке 1.

В основном (невозбужденном) состоянии 1s_1/2 атом обладает минимально возможной энергией и может находиться в нем сколь угодно долго, однако, если сообщить атому энергию из вне, то он может перейти в различные возбужденные состояния с большими значениями энергии (большими квантовыми числами n и j). В этих состояниях атомы могут пребывать непродолжительное время (время жизни в возбужденном состоянии обычно порядка 10^-8 с), после чего совершают переходы в менее энергетичные состояния, испуская при этом электромагнитное излучение с частотами, определяемыми правилом частот Бора (2). Следует отметить, что возможны не все излучательные переходы, а лишь те, которые удовлетворяют следующим правилам отбора:

l, (18)

j0,. (19)

Это означает, что разрешены лишь такие переходы, при которых квантовое число l меняется на единицу (что в символике рисунка 1 соответствует переходам между соседними столбцами уровней), квантовое число j либо меняется на единицу, либо не меняется вовсе. Излучательные переходы при других изменениях l и j запрещены. Некоторые из разрешенных переходов изображены на рисунке 1.

Так, головной линии серии Бальмера (красная линия  = = 6562,85 Å) соответствует семь переходов с уровней n = 3 на уровни n = 2, т.е. эта линия состоит из нескольких близок расположенных линий, которые действительно существуют, но при наблюдении спектральным прибором с невысокой разрешающей способностью сливаются в одну относительно широкую линию. Другие разрешенные переходы дают полный спектр атома водорода, линии которого можно сгруппировать в следующие серии:

Таким образом, квантовомеханическое рассмотрение с учетом спин-орбитального взаимодействия позволяет полностью объяснить экспериментально наблюдаемый спектр атома водорода, включая тонкое расщепление спектральных линий.

16 Сложение моментов импульса в квантовой механике. Спин электрона. Спин-орбитальное взаимодействие и тонкая структура спектральных линий.

Сложение моментов в квантовой механике

Значит все сходится и L'=1 L"=2 L"'=3

Спин-орбитальное взаимодействие и тонкая структура спектральных линий

17 Уровни энергии и спектр атома гелия (парагелий, ортогелий).

1. Уровни энергии и спектр атома гелия (парагелий, ортогелий).

18 Спектры щелочных металлов. Снятие вырождения уровней. Термы щелочных металлов. Экспериментальная формула Ридберга. Ридберговские поправки.

Уровни энергии и спектры атомов щелочных металлов

19) Мультиплетность спектров щелочных металлов. Тонкая структура спектров. Спин электрона. Спиновое квантовое число. Спин-орбитальное взаимодействие. Постоянная тонкой структуры.

Исследование спектров щелочных металлов при помощи приборов с большой разрешающей силой показало, что каждая линия этих спектров является двойной (дублет). Так, например, характерная для натрия желтая линия   состоит из двух линий с длинами волн 5890 А и 5896 А. То же относится и к другим линиям главной серии, а также к линиям других серий

Структура спектра, отражающая расщепление линий на компоненты, называется тонкой структурой. Сложные линии, состоящие из нескольких компонент, получили название мультиплетов. Тонкая структура обнаруживается, кроме щелочных металлов, также и у других элементов, причем число компонент в муль-типлете может быть равно двум (дублеты), трем (триплеты), четырем (квартеты), пяти (квинтеты) и т. д. В частном случае спектральные линии даже с учетом тонкой структуры могут быть одиночными (синглеты).

Для объяснения мультиплетной структуры спектров и аномального эффекта Зеемана (см. § 75) Гаудсмит и Юленбек выдвинули в 1925 г. гипотезу о том, что электрон обладает собственным моментом импульса M_s, не связанным с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент был назван спином. В 1925 году голландские физики Уленбек и Гаудсмит выдвинули гипотезу о том, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса . Этот момент им­пульса называется спином. Уленбек и Гаудсмит связывали со спином наглядный образ – вращение электрона вокруг собственной оси. Од­нако такое представление оказалось неправильным. Спин является чисто квантовым свойством электрона. Это автоматически вытекает из квантово–релятивистской теории электрона, разработанной Дираком .

Спин, как и всякий механический момент импульса, обладает теми же общими свойствами, что и вектор момента импульса орби­тального движения. Напомним, что для орбитального движения:

Здесь магнитное квантовое число, свя­занное с орбитальным движе-нием, обозначено как m_e. Оно прини­мает (2l+1) значений. Аналогично можно написать для спинового движения

46146\* MERGEFORMAT (.)

Здесь s – спиновое квантовое число, m_s – магнитное спиновое квантовое число, которое принимает (2s+1) значение.

С собственным механическим моментом импульса электрона свя­зан магнитный момент M_s. Наблюдающееся в опытах Штерна и Герлаха расщепление пучка атомов, находящихся в s – состоянии, вызвано, таким образом, спиновым магнитным моментом электрона (магнитный момент ядер атомов оказывается мало существенным). Согласно этим опытам, число проекций магнитного спинового момента M_sz равно двум, т.е.

2s + 1=2. 47147\* MERGEFORMAT (.)

Отсюда следует важный вывод, что спиновое квантовое число имеет полуцелое значение:

48148\* MERGEFORMAT (.)

Следовательно, для спина электрона .

В этом состоит своеобразие спина электрона: он характеризуется полуцелым значением квантового числа. Часто спиновое квантовое число s также называют спином.

20) Результирующий механический момент многоэлектронного атома. Связь Рёссель – Саундерса (LS-связь), jj-связь. Квантовое число результирующего механического момента. Термы многоэлектронных атомов.

Результирующий механический момент многоэлектронного атома.

Как показывает расчет, суммарный орбитальный момент системы определяется выражением

(13.34)

где L — орбитальное квантовое число результирующего момента. В случае системы из двух частиц с орбитальными моментами l1 и l2 квантовое число L — целое, положительное — может иметь следующие значения:

L = (l1 + l2), (l1 + l2 - 1), ..., |l1 - l2|.

(13.35)

Отсюда следует, что L (а значит и результирующий момент) может иметь 2 l1 + 1 или 2 l2 + 1 различных значений (нужно взять меньшее из двух значений l). Если система состоит не из двух, а из многих частиц, то квантовое число L, определяющее результирующий орбитальный момент, находится путем последовательного применения правила (13.35).

Проекция результирующего орбитального момента на некоторое направление Z определяется аналогично (13.27): Электростатическое поле бесконечно длинного прямого равномерно заряженного цилиндра. Рассмотрим цилиндр радиусом R, равномерно заряженный с линейной плотностью + (это, конечно же, может быть электрический кабель). Из условия симметрии следует, что силовые линии лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующей цилиндра, и направлены радиально от оси цилиндра (рис.16.14), причем, во всех точках, равноудаленных от оси цилиндра, как электрические смещения D, так и напряженности поля Е одинаковы.

Mz = ћmL, mL=0, ±1, ±2, …, ± L.

(13.36)

Подобным же образом определяется и суммарный спиновый момент системы:

(13.37)

где квантовое число S результирующего спинового момента может быть целым или полуцелым — в зависимости от числа частиц — четного или нечетного. Если число N частиц четное, то S = Ns, Ns - 1, ..., 0, где s = 1/2, т. е. в этом случае S — целые числа. Если же число N частиц нечетное, то S принимает все полуцелые значения от Ns до s, где s = 1/2.

Нормальная и jj- связи. Каждый электрон в многоэлектронном атоме характеризуется орбитальным Ml и собственным моментом Ms. Моменты Ml и Ms складываются в результирующий момент атома Mj. При этом возможны два случая.

1. Моменты Ml взаимодействуют между собой сильнее, чем с Ms, которые в свою очередь сильнее связаны друг с другом, чем с Ml. Вследствие этого все Ml складываются в результирующую ML, моменты Ms складываются в MS, а затем уже ML и Ms дают суммарный момент атома МJ. Такой вид взаимодействия называется нормальной связью или связью Рёссель-Саундерса.

2. Каждая пара Ml и Ms взаимодействует между собой сильнее, чем с другими Ml и Ms, вследствие чего образуются результирующие Мj для каждого электрона в отдельности, которые затем уже объединяются в МJ атома. Такой вид связи, называемый j-j связью.

Наиболее важной и распространенной является нормальная связь. Такой вид связи, как правило, присущ легким и не слишком тяжелым атомам, для которых суммарный момент MJ атома определяется как:

(13.38)

где квантовое число J полного момента может иметь одно из следующих значений:

J = L + S, L + S – 1, …, |L – S|.

Значит, J будет целым, если S целое ( т. е. при четном числе электронов) или полуцелым, если S полуцелое (при нечетном числе электронов).

Однако нормальная связь - Это только один из крайних случаев связи. Другой крайний случай —j-j связь, когда спин-орбитальное взаимодействие у каждого электрона оказывается основным. Такая связь встречается у тяжелых атомов, но достаточно редко. В основном же осуществляются более сложные промежуточные виды связи.

Спектральные обозначения. В случае нормальной связи термы принято обозначать символами, подобными (13.30):

v(L)J,

(13.39)

где v = 2S + 1 — мультиплетность, J — квантовое число полного момента. Отличие с обозначением (13.30) лишь в том, что малые буквы s и j заменены на соответствующие большие S и J. Следует отметить, что мультиплетность v дает количество подуровней только в случае S < L (в случае же S > L, число подуровней равно 2L + 1).

Правила отбора. При рассмотрении внешнего электрона в атомах щелочных металлов было отмечено, что не все переходы между термами возможны. Возможны только те, которые подчиняются правилам отбора (13.22) и (13.31).

При переходе к сложным атомам правила отбора необходимо уточнить. Эмпирически было установлено, что при нормальной связи правила отбора для квантовых чисел L, S и J таковы:

ΔL = 0, ±1.	(13.40)
ΔS = 0.	(13.41)
ΔJ = 0, ±1.	(13.42)

При этом, однако, переход J = 0 → J = 0 запрещен.

Указанные правила отбора обоснованы квантовой теорией и не всегда являются достаточно жесткими. Cуть этих правил в том, что только при таких изменениях квантовых чисел L, S, J вероятность переходов является существенной.

21)Магнитный момент многоэлектронного атома. Гиромагнитное отношение. Магнетон Бора. Фактор Ланде. Векторная модель атома.

1. По представлениям теории Бора электрон обращается вокруг

ядра по стационарной круговой (или эллиптической) орбите (рис. 1 ).

Р и с. 1

С таким орбитальным движением электрона можно связать кольцевой ток, характеризую­щийся силой тока , где e – за­ряд электрона, T = 2π/ω – период его об­ращения вокруг ядра. Кольцевому току отвеча­ет магнитный момент:

49149\* MERGEFORMAT (.)

где S = πr² – площадь орбиты электрона, v=ωr – линейная скорость, m_e – масса электрона. Поскольку , то величина rm_ev представляет собой момент импульса орбитального движения электрона. Если орбита находится в плоскости x,y, то rm_ev есть z-я компонента вектора момента импульса l_z. Таким обра­зом, величина М в формуле 149 также должна иметь смысл z-й компоненты вектора магнитного момента. Другими словами, получаем соотношение

50150\* MERGEFORMAT (.)

или, в в векторной форме

51151\* MERGEFORMAT (.)

Эти соотношения показывают, что магнитный момент и момент импульса орбитального движения пропорциональны друг другу. Коэф­фициент пропорциональности

52152\* MERGEFORMAT (.)

называют гиромагнитным отношением. Гиромагнитным отноше-нием назы­вают также безразмерную величину

53153\* MERGEFORMAT (.)

В случае орбитального движения электрона величина g = 1.

Магнето́н Бо́ра — единица элементарного магнитного момента.

Впервые обнаружена и рассчитана в 1911 году румынским физиком Штефан Прокопиу,^[1][2] величина названа в честь Нильса Бора, который самостоятельно рассчитал её в 1913 году.

В Гауссовой системе единиц магнетон Бора определяется как^[3]

и в системе СИ как

где ħ — постоянная Планка, е — элементарный электрический заряд, m_e — масса электрона, c - скорость света.

Множитель Ланде определяется по формуле

где L — значение орбитального момента атома, S — значение спинового момента атома, J — значение полного момента. Эта формула справедлива в случае LS-связи, то есть для лёгких атомов. Впервые он был введён немецким физиком А. Ланде в 1921 году при исследовании спектра испускания атомов, помещённых в магнитное поле. Работы Ланде являлись продолжением работ П. Зеемана, поэтому эксперимент Ланде называют аномальным эффектом Зеемана. При этом Зееман считал L=J, S=0, а потому g=1, и никакой надобности в множителях не возникало. Множитель Ланде определяет относительную величину магнитомеханического отношения.^[1]

Задание квантовых чисел всех электронов атома не характеризует, однако, полностью его состояние. Важно указать, каково расположение моментов электронов по отношению друг к другу.

Определение всех возможных состояний атомов делается на основе векторной модели атома. Каждый электрон характеризуется двумя векторами: l→_i и s→_i. Они выражают (в единицах 

h

2π

  ) векторы орбитальных и собственных моментов электронов.

Атом в целом характеризуется тремя суммарными моментами: суммарным спин-моментом S→ = ∑s→_i, суммарным орбитальным моментомL→ = ∑l→_i и суммарным общим моментом I→ = L→ + S→ (см. гл. XIII).

Так как буквы s, p, d, f приняты для характеристики отдельных электронов, то состояние атома записывается следующим образом. Значение l = 0, 1, 2, 3 (в единицах h/2π) записывается большими буквами S, P, D, F. Слева, вверху буквы, характеризующей величину L записывается величина спин-момента, но не само значение S, а по причинам, которые мы вскоре выясним, записывается величина 2S + 1. Справа внизу записывается величина I.

Таким образом, состояние атома передается записью

^{2S + 1}L_I.

22) Принцип Паули. Электронная конфигурация атома. Типы связей электронов в атоме. Классификация состояний

Рассмотрим подробнее систему частиц с полуцелым спином. Оказалось, что частицы с полуцеиым спином, в частности, электрон, описываются антисимметричной волновой функцией. Это утверждение представляет собой общую формулировку принципа запрета, или прин­ципа исключения Паули. Частные формулировки этого принципа были открыты Паули в 1925 году при изучении эмпирических закономерностей в атомных спектрах еще до введения в теорию пред­ставлений о спине и до построения волновой механики Шредингера. Согласно принципу Паули – два электрона в атоме никогда не могут обладать одинаковым набором четырех квантовых чисел.

Электронная конфигурация — формула расположения электронов по различным электронным оболочкам атома химического элемента или молекулы.

С точки зрения квантовой механики электронная конфигурация — это полный перечень одноэлектронных волновых функций, из которых с достаточной степенью точности можно составить полную волновую функцию атома (в приближении самосогласованного поля).

по историческим причинам в формуле электронной конфигурации квантовое число   записывается латинской буквой. Состояние с   обозначается буквой  ,   —  ,   —  ,   —  ,   —   и далее по алфавиту. Слева от числа   пишут число  , а сверху от числа   — число электронов в состоянии с данными   и  . Например   соответствует двум электронам в состоянии с  ,  . Из-за практического удобства (см.правило Клечковского) в полной формуле электронной конфигурации термы пишут в порядке возрастания квантового числа  , а затем квантового числа  , например  . Поскольку такая запись несколько избыточна, иногда формулу сокращают до  , т. е. опускают число   там, где его можно угадать из правила упорядочения термов.

23) Основное состояние многоэлектронного атома. Правила Хунда. Последовательность заполнения электронных оболочек атома.

Правило Хунда (Гунда) определяет порядок заполнения орбиталей определённого подслоя и формулируется следующим образом: суммарное значение спинового квантового числа электронов данного подслоя должно быть максимальным.

Это означает, что в каждой из орбиталей подслоя заполняется сначала один электрон, а только после исчерпания незаполненных орбиталей на эту орбиталь добавляется второй электрон. При этом на одной орбитали находятся два электрона с полуцелыми спинами противоположного знака, которые спариваются (образуют двухэлектронное облако) и, в результате, суммарный спин орбитали становится равным нулю.

Атом водорода является простейшим из атомов. Он содержит в себе только один электрон, находящийся в основном состоянии 1s. Возникает вопрос: каким образом располагаются электроны в других атомах, как распределение электронного заряда в атомах отражается в их свойствах? Почему при монотонном изменении заряда ядра ато­мов происходит периодическое изменение их химических и физических свойств? Эти вопросы неразрывно связаны с построением периодической системы Элементов Д.И. Менделеева (1869 г.). Первую физическую интер­претацию этой системы с использованием химических и спектроскопи­ческих данных и квантовой теории водородоподобного атома дал Н. Бор в 1922 г. Последовательное объяснение электронного строения атомов стало возможным лишь после открытия спина электрона и принципа Паули. Этот принцип исключает возможность стягивания всех атомных электронов в состояние с минимальной энергией.

При физическом рассмотрении периодической системы исходят из того, что при пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием состоя­ния электрона в атоме описываются четверкой квантовых чисел n,l,m_l,m_s. По принципу Паули, в состояниях с этой фиксированной четверкой чисел может находиться только один электрон. В состояниях с фиксированной тройкой чисел n,l,m_l может находиться два электрона. Состояниям с фиксированными числами n,l отвечают 2(2l+1) электронов. Совокупность одноэлектронных состояний с фиксиро-ванными значениями чисел n,l называют электронной оболочкой атома. Электроны с оди­наковыми значениями квантовых чисел n,l называются эквивалентными. Очевидно, что число электронов в оболочке не зависит от значения главного квантового числа. Например, в р – оболочке максимальное число электронов равно 2(2·1+1)=6. Нахождение нескольких электронов в оболочке принято обозначать в виде показателя степени.