2.9. Проверка прочности панели по сечению, нормальному к продольной оси панели, на действие изгибающего момента.

Расчет предварительно напряженных элементов в стадии эксплуатации по предельным усилиям производится согласно п. 3.1.2 СП [8].

Согласно п. 3.1.2.2 СП [8] расчет по прочности нормальных сечений следует производить в зависимости от соотношения между значением относительной высоты сжатой зоны бетона ξ, определяемой из соответствующих условий равновесия, и значением граничной относительной высоты сжатой зоны ξ_R, при которой предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением в растянутой арматуре напряжения равного расчетному сопротивлению R_S.

Существует два варианта соотношения ξ и ξ_R:

1. ξ < ξ_R – 1-й случай разрушения конструкции (разрыв растянутой арматуры),

2. ξ > ξ_R – 2-й случай разрушения конструкции (выкрашивание сжатого бетона).

Необходимо стремиться к 1-му случаю разрушения с целью максимального использования прочностных свойств дорогостоящей высокопрочной арматурной стали. При 2-м случае разрушения плита переармирована, то есть прочностные свойства дорогостоящей арматуры используются не полностью.

Значение ξ_R определяется по формуле 32 СП [8]:

где: ε_s,el – относительная деформация арматуры растянутой зоны, вызванная внешней нагрузкой при достижении в этой арматуре напряжения, равного R_S;

ε_b,ult – относительная деформация сжатого бетона при напряжениях, равных R_В, принимаемая равной 0,0035.

Для арматуры с условным пределом текучести значение ε_s,el определяется по формуле 33 СП [8]:

,

где: σ_sp – предварительное напряжение в арматуре с учетом всех потерь и γ_sp = 0,9; 400 – в МПа.

σ_sp = σ_sp,0 · γ_sp – Δσ_sp(2) = 620·0,9 – 213,2 = 344,8 МПа;

σ_sp,0 – исходная (начальная) величина предварительного напряжения.

Мы приняли σ_sp,0 = 620 МПа (см. п. 6.5).

Расчет по прочности сечений изгибаемых элементов производится согласно п. 3.1.2.5 СП [8] из условия 34:

М ≤ М_ult,

где: М – изгибающий момент от внешней нагрузки;

М_ult – предельный изгибающий момент, который может быть воспринят сечением элемента.

М = кН·м – изгибающий момент от полной расчетной нагрузки.

Перед определением М_ult необходимо проверить выполнение условия ξ ≤ ξ_R.

х – высота сжатой зоны бетона (взятая при расчете A_sp,т), х = 19;

h₀ – рабочая высота сечения, h₀ = 190 мм;

ξ = 0,1 ≤ ξ_R = 0,386 – условие выполняется.

После расчета требуемой площади поперечного сечения предварительно напряженной арматуры A_sp,т мы приняли реальную площадь поперечного сечения предварительно напряженной арматуры А_sp. После этого изменилась величина х. Определяем действительное значение высоты сжатой зоны бетона х с учетом принятой величины А_sp:

.

х = 20,34 мм < 40,7 мм, следовательно, граница сжатой зоны бетона проходит в полке.

ξ = х / h₀ = 20,34/ 190 = 0,107;

ξ = 0,107 ≤ ξ_R = 0,383 – условие выполняется.

Выполнение условия ξ ≤ ξ_R показывает, что в данной панели происходит 1-й случай разрушения железобетонной конструкции (разрыв растянутой арматуры). Это соответствует строительным нормативным требованиям, так как согласно п. 3.1.2.9 СП [8] при расчете по прочности изгибаемых элементов рекомендуется соблюдать условие ξ ≤ ξ_R

Значение М_ult для изгибаемых элементов при ξ ≤ ξ_R определяют по формуле:

.

М = кН·м < М_ult = 70,51 кН·м – несущая способность нормального сечения плиты изгибающему моменту обеспечена.

Таким образом прочность панели по сечению, нормальному к продольной оси панели, на действие изгибающего момента обеспечена.

A_sp,т = 5,27 см² исходя из М = кН·м.

На основе требуемой площади поперечного сечения предварительно напряженной арматуры А_sp,т принимаем реальную площадь поперечного сечения предварительно напряженной арматуры А_sp. Исходя из величины А_sp был посчитан предельный изгибающий момент, который может быть воспринят нормальным сечением панели, М_ult. Таким образом: М → А_sp,т → А_sp → М_ult.

М_ult = 70,51 кН·м исходя из А_sp = 5,65 см².

С увеличением площади поперечного сечения арматуры должен увеличиваться предельный изгибающий момент. Проверим соответствие относительного увеличения предельного изгибающего момента и относительного увеличения площади поперечного сечения арматуры.

А_sp,т = 5,27 см² → А_sp = 5,65 см² , Δ_А = 7,21 %;

М = кН·м → М_ult = 70,51 кН·м, Δ_М = 5,29 %;

Δ_А > Δ_М.

Таким образом, относительное увеличение предельного изгибающего момента меньше относительного увеличения площади поперечного сечения арматуры. Это объясняется тем, что с увеличением площади поперечного сечения растянутой арматуры А_sp автоматически возрастает площадь поперечного сечения сжатого бетона А_b из условия равенства воспринимаемых усилий:

N_s = N_b × (A_sp · R_s = A_b · R_b).

A_b = b_f *x, следовательно, с увеличением А_b, возрастает высота сжатой зоны бетона х и, соответственно, уменьшается плечо внутреннего момента z = h₀ – 0,5 · x.

Величина М_ult зависит и от А_sp и от z (рис. 14), поэтому относительное увеличение предельного изгибающего момента всегда меньше относительного увеличения площади поперечного сечения арматуры.

Рис. 14. Геометрические параметры нормального сечения изгибаемой железобетонной конструкции и схема усилий в этом сечении.

Принимаем константы а₁ = R_b*h₀*b и а₂ = -0,5*R_b*b, после этого получаем:

M_ult = а₁*х + а₂*х², где а₁ = const, x = var;

M_ult = y₁ + y₂;

y₁ = a₁*x – прямая зависимость, расположенная в 1-м квадранте (а₁ > 0);

y₂ = a₂*x² – квадратичная парабола, расположенная в 4-м квадранте (а₂ < 0), то есть ветви параболы направлены вниз.

Рис. 15. График результирующей (суммарной) функции М_ult и составляющие графики прямой зависимости y₁ и квадратичной параболы y₂: ΔМ_ult – абсолютное увеличение предельного изгибающего момента; ΔА_sp – абсолютное увеличение площади поперечного сечения арматуры (графики функций y₁ и y₂, показанные в 3-м квадранте, имеют только математический смысл)

Таким образом, выше математически доказано, что установка дополнительной сверхнормативной арматуры не дает прямо пропорционального увеличения предельного изгибающего момента, который может быть воспринят нормальным сечением железобетонной конструкции (рис. 15). Необходимо устанавливать оптимальное количество арматуры, то есть такое, какое требуется по расчету.

Установка лишней дополнительной арматуры имеет так же ряд отрицательных последствий:

1. усложняется процесс изготовления железобетонной конструкции (труднее укладывать и уплотнять бетонную смесь);

2. резко повышается стоимость железобетонной конструкции.