4. Обратная матрица.

Обратная матрица существует только тогда,когда еее определитель не равен нулю. Матрица   называется обратной матрицей для квадратной матрицы   , если   .      Из определения следует, что обратная матрица   будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица  (иначе одно из произведений   или   было бы не определено). Обратная матрица для матрицы   обозначается   . Таким образом, если   существует, то   . Из определения обратной матрицы следует, что матрица  является обратной для матрицы   , то есть   . Про матрицы   и  можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.         Предложение 14 . 20   Если матрица   имеет обратную, то   и  .          Доказательство .     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ,то  . По   следствию , поэтому  , что невозможно при   . Из предыдущего равенства следует также  .      Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.         Определение 14 . 9   Квадратную матрицу   назовем вырожденной или особенной матрицей , если   , и невырожденной или неособенной матрицей , если   .                  Предложение 14 . 21   Если обратная матрица существует, то она единственна.          Доказательство .     Пусть две матрицы   и   являются обратными для матрицы  . Тогда     и Следовательно,   .              Предложение 14 . 22   Если квадратная матрица  является невырожденной, то обратная для нее существует и  где    -- алгебраические дополнения к элементам   .          Доказательство .     Так как для невырожденной матрицы   правая часть равенства ( 14.14 ) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы   . Обозначим правую часть равенства ( 14.14 ) буквой   . Тогда нужно проверить, что  и что   . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично. Пусть   . Найдем элементы матрицы   , учитывая, что  :   Если   , то по   предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть   при   . Если  , то   Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы   по   -ой строке ( предложение 14.16 ). Таким образом,  Итак, в матрице   диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть   .      Результаты предложений 14.20 , 14.21 , 14.22 соберем в одну теорему.   Замечание .Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй -- номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.   

5. Метод Крамера

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и  .

Наконец несложно заметить, что 

Таким образом, получаем равенство:  .

Следовательно,  .

Аналогично выводятся равенства   и  , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Нахождение обратной матрицы

Путь имеется матрица:

называется присоединенной для матрицы А. Здесь А_ij алгебраическое дополнение элементов а_ij матрицы А.