9.Векторы и действия над ними.
Векторы хар-ся величиной или модулем и направлением. Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается .Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными.Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.
1) Сложение векторов. Для сложения векторов есть два способа.
1.
Правило параллелограмма. Чтобы сложить
векторы 
и 
,
помещаем начала обоих в одну точку.
Достраиваем до параллелограмма
и из той же точки проводим
диагональ параллелограмма. Это и будет
сумма векторов
и
.
1
2
3
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.(3)
2)Вычитание векторов
Вектор 
направлен
противоположно вектору 
.
Длины векторов
и
равны.
Теперь
понятно, что такое вычитание векторов.
Разность векторов
и
—
это сумма вектора
и вектора 
.
3)Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
10. Декартовы координаты вектора в пространстве.
Опр. Три
ортогональные (взаимно перпендикулярные)
координатные оси Ox, Oy, Oz,
имеющие общее начало О и единую единицу
масштаба, образуют декартову систему
координат в пространстве.
Ось Ox это
ось абсцисс, ось Oy это
ось ординат, ось Оz это
ось аппликат. Орты 
, 
, 
сонаправлены
соответственно осям Ox, Oy,
Оz.
Так как орт это
единичный (то есть нормированный) вектор,
то ортогональные орты
,
,
образуют
ортогональный ортонормированный базис,
который обозначается {
,
,
}.
Базисные тройки ортогональных ортов { , , } бывают двух типов.
Опр. Базисная тройка { , , } называется правой, если при кратчайшем повороте от вектора к вектору направление движения правого винта совпадает с направлением вектора . В противном случае орты , , образуют левую базисную тройку.
Ориентация базисной тройки не меняется при циклической (круговой) перестановке ортов: { , , } { , , } { , , } { , , }. Но если в базисной тройке поменять местами любые два орта (или один из ортов заменить ему противоположным), то такая базисная тройка изменит свою ориентацию. Например, если { , , } правая базисная тройка, то { , , } левая.
В научной литературе принято пользоваться правой базисной тройкой ортов { , , }, которые образуют правую декартову систему координат.
11.Скалярное произведение вектора.
Угол между
ненулевыми векторами AB и CD –
это угол, образованный векторами при
их параллельном переносе до совмещения
точек A и C. Скалярным произведением
векторов a и b называется
число, равное произведению их длин
на косинус угла между ними:
Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю: ( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .
Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
Скалярное
произведение ( a , a ), равное
| a | 2, называется скалярным
квадратом. Длина вектора a
и его скалярный квадрат связаны
соотношением: 
Скалярное произведение двух векторов:
- положительно, если угол между векторами острый ;
- отрицательно, если угол между векторами тупой .
Скалярное
произведение двух ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда,
когда угол между ними прямой, т.е. когда
эти векторы перпендикулярны (ортогональны):
Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:
I. ( a , b ) = ( b , a ) . ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон )
II. ( m a , b ) = m ( a , b ) .
III. ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c ). ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон )