Степенные ряды. Теорема Абеля.

Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида

=

или более общего вида

=

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд сходится при ,то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию ;

2) Если ряд расходится при , то он расходится и для всех х, удовлетворяющих условию .

Радиусом сходимости степенного ряда называется число R такое, что для всех х, , степенной ряд сходится, а для всех х, , расходится.

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда . Число R называется радиусом сходимости степенного ряда .

Ряд может сходиться в обеих точках , или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться в этих точках, как абсолютно, так и условно.

Для нахождения области сходимости ряда сначала находят интервал сходимости ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда, например по признаку Даламбера.

Затем значения подставляют в исходный ряд и исследуют сходимостьчисловых рядов посредством других признаков сходимости.

Формула Тейлора и ряд Тейлора

Пусть функция имеет в точке а производные любых порядков. Для нее можно тогда вычислить коэффициенты Тейлора с любыми номерами:

, , , …, , … (1) Ряд с такими коэффициентами (2)

называется рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки а.

В случае, когда а = 0 ряд (2) получает вид

(3)

и его называют ещё рядом Маклорена.

Вопрос о разложимости функции в ряд Тейлора решается следующим утверждением.

Теорема (о разложимости функции в ряд Тейлора).

Если в некотором интервале, содержащем точку а, абсолютные величины всех производных функции f(x) ограничены одним и тем же числом (4) (М не зависит от n и х ), то функция f(x) в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.

Во многих задачах теории и практики важнейшую роль играют разложения классических элементарных функций в ряды Маклорена.

Пример 1. Разложить в степенной ряд ( ряд Маклорена) функцию f(x) = .  Найдем значения функции и её производных при х = 0:

f(x) = , f(0) = = 1, , , , , …, , , … Так как 0 < ln 2 < 1, то при фиксированном х имеет место неравенство , М = при любом n. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда

Маклорена (3) : = 1 +

Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.

Тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида (1)

где

Числа a₀, a_n и b_n называются коэффициентами Фурье функции f. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты a₀, a_n и b_n. Если умножить правую часть (1) на cos(kx) и проинтегрировать по промежутку [−π,π], благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент a_k. Аналогично для b_k