Дифференцирование неявно заданных функций
Рассмотрим функцию
Мы
видим, что слева у нас одинокий «игрек»
(функция), а справа – только «иксы». То
есть, функция у в явном виде выражена
через независимую переменную х.
–
пример неявной
функции.
В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует, у неё есть график. У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д.
Пример 1
Найти производную от функции, заданной неявно
1) На первом этапе
навешиваем штрихи на обе части:
2) Используем
правила линейности:
3) Непосредственное
дифференцирование.
!!!
Как дифференцировать
Здесь
у нас сложная функция. Таким образом,
синус – внешняя функция, у – внутренняя
функция. Используем правило дифференцирования
сложной функции
:
Произведение
дифференцируем по обычному правилу
:
Обратите внимание,
что
–
тоже сложная функция, любой «игрек с
наворотами» – сложная функция:
Само оформление
решения должно выглядеть примерно
так:
Если
есть скобки, то раскрываем их:
4) В левой части
собираем слагаемые, в которых есть
«игрек» со штрихом. В правую часть –
переносим всё остальное:
5) В левой части
выносим производную
за
скобки:
6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:
Производная найдена. Готово.
Интересно отметить,
что в неявном виде можно переписать
любую функцию. Например, функцию
можно
переписать так:
.
И дифференцировать её по только что
рассмотренному алгоритму. На самом деле
фразы «функция, заданная в неявном виде»
и «неявная функция» отличаются одним
смысловым нюансом. Фраза «функция,
заданная в неявном виде» более общая и
корректная,
–
эта функция задана в неявном виде, но
здесь можно выразить «игрек» и представить
функцию в явном виде. Под фразой «неявная
функция» понимают «классическую»
неявную функцию, когда «игрек» выразить
нельзя.
Второй способ решения
Найдем производную неявной функции
Переносим все
слагаемые в левую часть:
И рассматриваем
функцию двух переменных:
Тогда нашу
производную можно найти по формуле
Найдем
частные производные:
Таким образом:
Двойной интеграл
Теорема 1. Пусть
Р – плоская область, ограниченная
графиками непрерывных функций
,
таких, что
,
х
и, быть может, отрезками прямых х = а
и х = b.
Если функция f(x, y) непрерывна в области Р, то
=
.
Интеграл, стоящий
в правой части формулы называется
повторным
интегралом
и записывается в виде
.
Итак,
=
=
(1 способ).
Пример 1. Вычислить двойные интегралы по прямоугольным областям интегрирования Р.
;
,
.
1) Применяя формулу из теоремы 1, получаем:
= =
=
.
=
.
Ответ
.
Криволинейные интегралы и их приложения.
Определение
П
усть
кривая C
описывается векторной функцией
,
где переменная s
представляет собой длину
дуги кривой
(рисунок 1). Если на кривой C
определена скалярная
функция F,
то интеграл
называется криволинейным
интегралом первого рода
от скалярной функции F
вдоль кривой C
и обозначается как
или
.
Криволинейный интеграл
существует,
если функция F
непрерывна на кривой C.
Найти интеграл
вдоль
отрезка прямой y = x от начала координат
до точки (2,2).
Решение.
