Старооскольский технологический институт (филиал) миСиС

Кафедра высшей математики MТ-3-02-90182

Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Й Б И Л Е Т

По высшей математике

__________200__г. Зав.кафедрой___________

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Старооскольский технологический институт

(филиал) МИСиС

Кафедра высшей математики MТ-3-02-75163

Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Й Б И Л Е Т

по высшей математике

__________200__г. Зав.кафедрой___________

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Старооскольский технологический институт

(филиал) МИСиС

Кафедра высшей математики MТ-3-02-53170

Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Й Б И Л Е Т

по высшей математике

__________200__г. Зав.кафедрой___________

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

*Проверить, будет ли функция w = f(z) = аналитической. При положительном ответе найти значение производной в точке z = π/3 .

*Проверить, будет ли функция w = f(z) = аналитической. При положительном ответе найти значение производной в точке z = π/6 .

*Восстановить аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной её мнимой части

v = 2xy +3 x² y – y³+ 2 .

*Восстановить аналитическую функцию f(z) = u + iv по известной её вещественной части

u = x³ - x – 3xy³ .

*Вычислить интеграл , где С : .

*Вычислить интеграл , где С : .

*Вычислить интеграл , где С : .

*Вычислить интеграл , где С : .

*Вычислить интеграл , где С : .

*Вычислить интеграл , где С : .

*Вычислить интеграл , где С : .

*Вычислить интеграл , где С : .

*Вычислить интеграл , где D – область, ограниченная параболами y=x² и x = y², прямой y = 3x – 1 .

Вычислить интеграл , где D – область, ограниченная прямыми y = x , x = 2 и гиперболой xy = 1 .

*Вычислить интеграл , где Ω – область, ограниченная плоскостями y=0, x=0, z=0, x+y+z=1 .

Вычислить интеграл , где Ω – область, ограниченная плоскостями y = 0, x + z = π/2, z = 0 и цилиндром .

*Вычислить интеграл , где D – часть кольца x² + y² ≥ 1, x² + y² ≤ 9, , .

*Вычислить интеграл , где Ω – область, ограниченная поверхностью

x² + y² + z² = z .

, где D – часть кольца x² + y² ≥ 1, x² + y² ≤ 9, ,

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями z = x² + y² , x + y = 1 и координатными плоскостями.

*Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями z = x² + y² , y = x² , y = 1 и z = 1/4 .

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями x + y + z = 6, 3x + y = 6, 3x + 2y = 12, y = 0 и z = 0 .

Вычислить площадь части плоскости 6x + 3y + 2z = 12 , заключенной в первом октанте.

Вычислить площадь, ограниченную линиями: x² + y² = 2x, x² + y² = 4x, y = x/2, y = 0 .

Вычислить площадь части поверхности z² = 4x , вырезанной цилиндром y² = 4x и плоскостью x + y = 1 .

Вычислить , где L – часть эллипса , лежащая в верхней полуплоскости.

*Найти массу четверти эллипса x = 2 cos t , y = 3 sin t , расположенной во второй четверти, если линейная плотность в каждой точке эллипса равна ординате этой точки.

*Определить массу контура эллипса , если линейная плотность его в каждой точке M(x,y) равна │y│ .

*Найти массу первого витка винтовой линии x = 5 cos t, y = 5 sin t, z = 4t, плотность которой в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этой точки.

Определить массу тела, ограниченного поверхностями 2x + z = 6, x + z = 3, y² = 3x, y = 0 (при y > 0), если его плотность в каждой точке равна ординате y этой точки.

*Определить суммарный заряд на поверхности тела, ограниченного поверхностями z = 4 , , если поверхностная плотность распределения заряда в точке M(x,y,z) равна z/2 .

Вычислить , где L –отрезок прямой, от точки A(1;1;1) до точки B(2;3;4) .

*Найти работу силы F = (x + y ) i + (y - ) j при перемещении вдоль линии L : x² + y² = 16 ( x ≥ 0, y ≥ 0 ) от точки M(4,0) к точке N(0,4) .

*Проекции силы на оси координат задаются формулами X = 2xy и Y = x² . Вычислить величину работы при перемемещении из точки ( 1; 0) в точку ( 0; 3). Показать, что работа не зависит от выбора формы пути.

*Вычислить интеграл , где S – часть сферы x² + y² + z² = 16, лежащая в первом октанте.

Вычислить интеграл , где S – часть плоскости 2x + 3y + z = 1, лежащая в первом октанте .

*Вычислить интеграл , где S – внешняя сторона пирамиды, составленной координатными плоскостями и плоскостью 5x - 3y - z = 1 .

*Вычислить интеграл , где S – внешняя сторона поверхности, лежащей в первом октанте и составленной из координатных плоскостей и поверхностей z=x²+y², x²+y²=1 .

*Найти поток радиус-вектора r через поверхность , 0 ≤ z ≤ 1 .

Найти поток вектора a = x² i + y³ j + z³ k через сферу x² + y² + z² = z .

Найти поток векторного поля a = (x+y) i + (y-x) j + xyz k через часть поверхности S: x²+y²=1, вырезаемую плоскостями z = 0 и z = 4 ( нормаль внешняя ) .

Найти поток векторного поля a = (1+ ) i + (4y- ) j + xy k через замкнутую поверхность S, ограниченную поверхностями z² = 4( x² + y² ), z = 3 ( нормаль внешняя ) .

Найти и нарисовать область определения функции , , .

Где нарушается непрерывность функции ? ? Построить линии уровня при C = - 1;0;2;3 .

Показать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа: ∆u=0.

( ∆u= ). ( ∆u= ).

Найти точки, в которых модуль градиента функции равен 2 .

Найти угол между градиентами функций и в точке (3, 4).

*Найти угол между градиентами скалярных полей v = в точке М( ; ; ).

Найти угол между градиентами функции в точках (1, 1) и (3, 4).

Найти производную функции в начале координат по направлению луча, образующего угол 120⁰ с осью абсцисс.

Найти производную функции в точке M(x;y), лежащей на эллипсе 2x² + y² = 1 по направлению нормали к эллипсу в этой точке.

*Найти производную скалярного поля u = в точке M(1, -3, 4) по направлению вектора a = -2 i - j + k .

*Найти производную функции , где r = x² + y² +z² в направлении её градиента.

*Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M{1;1;π/4).

*Составить уравнения касательных плоскостей к поверхности S: x² + 2y² + 3z² = 21, параллельных плоскости x + 4y + 6z = 0 .

В какой точке касательная плоскость к поверхности z = 4 – x² – y² параллельна: 1) плоскости xOy; 2) плоскости 2x + 2y + z = 0 ? Написать уравнения этих касательных плоскостей.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x² – y² в круге x² + y² ≤ 4.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x³ + y³ - 3xy в области D: 0 ≤ x ≤ 2, -1 ≤ y ≤ 2 .

*Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x² + y² + xy + x - y в области D: x ≤ 0, x - y ≥ -3, y ≥ 0 .

Исследовать на экстремум функцию z = x³ + y³ – 3xy . при x>0,y>0,z>0.

Исследовать на экстремум функцию z = (x² + y²) .

*20. Комплексные числа: Основные определения. действия с ними. Элементарные функции комплексной переменной. Их геометрический смысл.

*21. Функции комплексной переменной. Предел, непрерывность. Геометрический смысл.

*22. Аналитические функции. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл производной. Конформные отображения.

*23. Интегрирование функций комплексной переменной. Теорема Коши.

*24. Интегральная формула Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Разложение в степенной ряд.

*26. Вычеты, их вычисление. Основная теорема теории вычетов.

*27. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

*7. Двойные интегралы. Основные свойства. Вычисление в декартовых координатах.

*8. Тройные интегралы. Основные свойства. Вычисление в декартовых координатах.

*9. Полярные и криволинейные координаты на плоскости. Замена пере­менной в двойных интегралах. Якобиан.

*10. Замена переменных в тройных интегралах. Якобиан. Вычисление интегралов в сферических и цилиндрических координатах.

*11. Несобственные интегралы. Интеграл Пуассона.

*12. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Свойства и вычисление. Длина дуги кривой.

*13. Площадь произвольной поверхности. Интегралы по площади по­верхности. Свойства и вычисления.

*14. Задача о потоке жидкости. Поток произвольного векторного по­ля. Примеры.

15. Скалярные и векторные поля. Их основные характеристики: линии и поверхности уровня, градиент, дивергенция, ротор, циркуляция и др. Виды полей. Оператор Гамильтона, оператор Лапласса.

*16. Теорема Остроградского-Гаусса. Следствия из нее.

*17. Формулы Стокса и Грина. Следствия из них.

*18. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирова­ния. Потенциальные векторные поля. Их свойства.

19. Применение кратных, криволинейных, поверхностных интегралов к решению физических и геометрических задач.

28. Преобразование Лапласа. Основные свойства. Таблица изображе­ний.

29. Обращение преобразования Лапласа. Формула Меллина. Применение вычетов для нахождения оригинала.

30. Применение операционного исчисления к решению линейных диффе­ренциальных уравнений и систем.

31. Изображение свертки. Формула Дюамеля. Гамма функция.