Теорема 11.8.
Для любых отличных от нуля коллинеарных
векторов
и
существует
такое число λ, что
Доказательство
Пусть
и
одинаково
направлены. Векторы
и
одинаково
направлены и имеют одну и ту же абсолютную
величину
Значит,
они равны:
Если
векторы
и
противоположно
направлены, аналогично заключаем, что
Теорема
доказана.
Теорема 11.9.
Пусть
и
–
отличные от нуля неколлинеарные векторы.
Любой вектор
можно
единственным образом представить в
виде
Доказательство
Пусть A и B – начало и конец вектора
Проведем
через точки A и B прямые, параллельные
векторам
и
Они
пересекутся в некоторой точке C . Имеем
Так
как векторы
и
коллинеарны,
то
так
как векторы
и
коллинеарны,
то
Таким
образом,
Рисунок
11.2.5.
Для доказательства единственности
представления допустим, что в условиях
теоремы такое представление не
единственно. То есть наряду с числами
λ и μ такими, что
существуют
числа
и
такие,
что
и
при этом верно хотя бы одно из соотношений
Пусть
для определенности
Тогда
из равенства
имеем
На
основании теоремы 11.7 и замечания 11.1
получаем, что векторы
и
коллинеарны.
Но это противоречит условию неколлинеарности
этих векторов. Показанное противоречие
доказывает единственность представления.
Теорема доказана.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов
и
называется
число
Скалярное
произведение векторов
и
обозначется
Для любых векторов
и
верно:
Теорема 11.10.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство
Пусть
и
–
данные векторы и φ – угол между ними.
Имеем:
или
Скалярное
произведение
таким
образом, выражается через длины векторов
и
т.
е. систему координат можно выбрать
любую, а величина скалярного произведения
не изменится. Выберем систему координат
так, чтобы начало координат совпало с
началом вектора
а
сам вектор
лежал
на положительной полуоси оси Ox . Тогда
координатами вектора
будут
числа
и
0, а вектора
–
b cos φ и b sin φ . По определению
Рисунок
11.2.6.
Единичные векторы
и
имеющие
направления положительных координатных
полуосей, называются координатными
векторами или ортами.
Теорема 11.11.
Любой ненулевой вектор
единственным
образом можно разложить по координатным
векторам, то есть записать в виде
Доказательство
Так как координатные векторы отличны
от нуля и неколлинеарны, то любой вектор
допускает
разложение по этим векторам в силу
теоремы 11.9
Найдем
λ и μ. Умножим обе части равенства
скалярно на вектор
Имеем
С
учетом того, что
и
ортогональны,
имеем
Аналогично,
умножая равенство на
получим
или
Таким
образом, для любого вектора
получается
разложение
Так
как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5
координаты однозначно определяют
вектор, то разложение единственно.
Теорема доказана.
3.
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
где
—
координаты вектора.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ПО БАЗИСУ