Предел функции
Число b называется пределом функции
f(x) в точке a, если
существует
,
такое что
выполняется
.
Для пределов функций справедливы
аналогичные свойства, как и для пределов
последовательностей, например,
,
если все члены существуют.
Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние
пределы
и
и
докажем, что они равны 1.
Пусть
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(
).
Точка K — точка пересечения луча
с окружностью, а точка L — с
касательной к единичной окружности в
точке
.
Точка H — проекция точки K на
ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где
—
площадь сектора
)
(из
:
)
Подставляя в (1), получим:
Так как при
:
Умножаем на
:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательства
Второй замечательный предел
или
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений
Докажем
вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома
Ньютона:
Полагая
,
получим:
(1)
Из данного равенства (1) следует, что с
увеличением n число положительных
слагаемых в правой части увеличивается.
Кроме того, при увеличении n число
убывает,
поэтому величины
возрастают.
Поэтому последовательность
—
возрастающая, при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому
(3).
Итак, последовательность ограничена
сверху, при этом
выполняются
неравенства (2) и (3):
.
Следовательно, на основании теоремы
Вейерштрасса (критерий сходимости
последовательности) последовательность
монотонно
возрастает и ограниченна, значит имеет
предел, обозначаемый буквой e.
Т.е.
Зная, что второй замечательный предел
верен для натуральных значений x, докажем
второй замечательный предел для
вещественных x, то есть докажем, что
.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами:
,
где
—
это целая часть x.
Отсюда следует:
,
поэтому
.
Если
,
то
.
Поэтому, согласно пределу
,
имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной
функции) существования пределов
.
2. Пусть
.
Сделаем подстановку
,
тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для
,
Доказательства следствий
