5. Гидростатика. Гидростатическое давление и его свойства

Гидравлика делится на два раздела: гидростатика и гидродинамика. Гидродинамика является более обширным разделом и будет рассмотрена в последующих лекциях. В этой лекции будет рассмотрена гидростатика.

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практическое применение.

Гидростатическое давление

В покоящейся жидкости всегда присутствует сила давления, которая называется гидростатическим давлением. Жидкость оказывает силовое воздействие на дно и стенки сосуда. Частицы жидкости, расположенные в верхних слоях водоема, испытывают меньшие силы сжатия, чем частицы жидкости, находящиеся у дна.

Рассмотрим резервуар с плоскими вертикальными стенками, наполненный жидкостью (рис.2.1, а). На дно резервуара действует сила P равная весу налитой жидкости G = γ V, т.е. P = G.

Если эту силу P разделить на площадь дна Sabcd, то мы получим среднее гидростатическое давление, действующее на дно резервуара.

Гидростатическое давление обладает свойствами:

Свойство 1. В любой точке жидкости гидростатическое давление перпендикулярно площадке касательной к выделенному объему и действует внутрь рассматриваемого объема жидкости.

Для доказательства этого утверждения вернемся к рис.2.1, а. Выделим на боковой стенке резервуара площадку Sбок (заштриховано). Гидростатическое давление действует на эту площадку в виде распределенной силы, которую можно заменить одной равнодействующей, которую обозначим P. Предположим, что равнодействующая гидростатического давления P, действующая на эту площадку, приложена в точке А и направлена к ней под углом φ (на рис. 2.1 обозначена штриховым отрезком со стрелкой). Тогда сила реакции стенки R на жидкость будет иметь ту же самую величину, но противоположное направление (сплошной отрезок со стрелкой). Указанный вектор R можно разложить на два составляющих вектора: нормальный Rn (перпендикулярный к заштрихованной площадке) и касательный Rτ к стенке.

Сила нормального давления Rn вызывает в жидкости напряжения сжатия. Этим напряжениям жидкость легко противостоит. Сила Rτ действующая на жидкость вдоль стенки, должна была бы вызвать в жидкости касательные напряжения вдоль стенки и частицы должны были бы перемещаться вниз. Но так как жидкость в резервуаре находится в состоянии покоя, то составляющая Rτ отсутствует. Отсюда можно сделать вывод первого свойства гидростатического давления.

Свойство 2. Гидростатическое давление неизменно во всех направлениях.

В жидкости, заполняющей какой-то резервуар, выделим элементарный кубик с очень малыми сторонами Δx, Δy, Δz (рис.2.1, б). На каждую из боковых поверхностей будет давить сила гидростатического давления, равная произведению соответствующего давления Px, Py , Pz на элементарные площади. Обозначим вектора давлений, действующие в положительном направлении (согласно указанным координатам) как P'x, P'y, P'z, а вектора давлений, действующие в обратном направлении соответственно P''x, P''y, P''z. Поскольку кубик находится в равновесии, то можно записать равенства

P'xΔyΔz=P''xΔyΔz

P'yΔxΔz = P''yΔxΔz

P'zΔxΔy + γΔx, Δy, Δz = P''zΔxΔy

где γ - удельный вес жидкости;

Δx, Δy, Δz - объем кубика.

Сократив полученные равенства, найдем, что

P'x = P''x; P'y = P''y; P'z + γΔz = P''z

Членом третьего уравнения γΔz, как бесконечно малым по сравнению с P'z и P''z, можно пренебречь и тогда окончательно

P'x = P''x; P'y = P''y; P'z=P''z

Вследствие того, что кубик не деформируется (не вытягивается вдоль одной из осей), надо полагать, что давления по различным осям одинаковы, т.е.

P'x = P''x = P'y = P''y = P'z=P''z

Это доказывает второй свойство гидростатического давления.

Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве.

Это положение не требует специального доказательства, так как ясно, что по мере увеличения погружения точки давление в ней будет возрастать, а по мере уменьшения погружения уменьшаться. Третье свойство гидростатического давления может быть записано в виде

P=f(x, y, z)

Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила - сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.2.2) и на ее свободную поверхность действует давление P0 . Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:

PdS - P0 dS - ρghdS = 0

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем

P = P0 + ρgh = P0 + hγ

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления P0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P0. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня (подробно рассмотрим в п.2.6). В обычных условиях поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.

6. Дифференциальные уравнения покоя (равновесия) жидкости. Уравнение Эйлера.

Рассмотрим покоящуюся жидкость в элементарном объеме с размерами dx dy dz

Если считать, что в центре объема давление Р, то в центре левой грани элементарного объема установится давление

В центре правой грани установится давление

Возникает вопрос – какая причина изменения давления (или почему на левой и правой гранях давления различны)? Вероятно на жидкость (выделенный объем) действуют другие силы. Мы часто вспоминали, что сила давления это сила, действующая на поверхность. Действительно, сила давления относится к так называемым поверхностным силам. Кроме поверхностных сил действуют объемные силы (или силы, действующие на все частицы жидкости независимо от того, где они находятся - на поверхности или в центре). В качестве примера можно привести силу тяжести, которая действует на всю жидкость целиком (хотя это могут быть и другие силы – например сила инерции). Таким образом, если мы ограничимся наиболее распространенным случаем, когда на жидкость действуют силы давления и силы тяжести (или инерции).

Мы рассматриваем покоящуюся жидкость, а обязательным условием покоя жидкости является равновесие всех сил. Таким образом равновесие математически формулируется:

Fдавления + Fмассовые = 0

Вспоминая, что сила - это давление, умноженное на площадь, а сила инерции (тяжести) – это масса умноженная на ускорение, получим

где: dy*dz - площадь боковых граней;

a – ускорение (боле правильно называть единичной массовой силой);

r - плотность;

dx*dy*dz – объем.

В результате преобразования этого уравнения для направления вдоль оси х получим:

аналогичные уравнения могут быть получены и для других направлений:

; - Получено Эйлером в 1755 г.

Умножая уравнения на dx, dy, dz соответственно и складывая их левые и правые части получим: