Биноминальное распр-е в виде таблицы выглядит так
X |
n |
n –1 |
… |
K |
… |
0 |
p |
|
|
… |
|
… |
|
37. Доказать, что для биноминальной
с.в.Х с вер-тью успеха p
в каждом из n
независимых
испытаний выполняется рав-во
.
Для с.в. Х, распределенной по биноминальному закону с параметрами n и p, имеем М(Х) = np, D(X) = npq.
=
.
38. Какой закон распр-ия наз-ся законом Пуассона? Увяжите с предельной теоремой Пуассона.
Если число испытаний
велико, а вероятность p
появления события
в каждом испытании очень мала, то
используют следующую формулу
, где
-
число появлений события в n независимых
испытаниях, =
np (среднее число появлений события в n
испытаниях), и говорят, что с.в.распределена
по з-ну Пуассона. (Есть спец.таблицы для
нахождения P
(k),
зная
и
.
В виде таблицы это выглядит так
X |
0 |
1 |
… |
K |
… |
p |
|
|
… |
|
… |
39. Какой смысл параметра в пуассонском законе распределения?
- это среднее число появлений события в n испытаниях, также можно отметить, что математическое ожидание и дисперсия дискретной с.в., распределенной по закону Пуассона, равны параметру данного распределения.
40. Дайте определение математического ожидания (МО) дискретной с.в.
МО дискретной с.в.– это сумма произведений всех возможных с.в. на их вероятности. Пусть с.в.Х может принимать только значения x1, x2,…,xn , вероятности которых соответственно равны р1, р2,…,рn. Тогда МО М(Х) с.в.Х определяется равенством М(Х) = x1 р1 + x2 р2+…+хn рn.
41.Докажите теорему сложения МО. Что понимается при этом под суммой с.в.?
МО суммы двух с.в.равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х + Y) = M (Х ) + М(Y ). Чтобы упростить док-во , ограничусь только 2-мя возможными значениями каждой из величин. В общем случае док-во аналогичное.
Док-во: Пусть с.в. Х и заданы следующим з-ом распр-я
Х x1 x2 Y y1 y 2
Р р1 р2 g g1 g 2
Составим все возможные значения в-ны Х + Y. Для этого к каждому возможному значению Х прибавим каждое возможное значение Y; получим x1 + y1, x1+ y 2, x2 + y1, x2 +y 2. Предположим, что эти значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вер-ти соответственно через р11, р12, р21, р 22. МО величины Х + Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: М(Х + Y) = (x1 + y1) р11 +( x1+ y 2) р12 +( x2 + y1) р21 +(x2 +y 2) р22 или М(Х + Y) = x1 ( р11 + р12 ) + x2 (р21 + р22 )+ y1( р11 +р12)+y 2( р21 + р22) (*). Докажем, что р11 + р12 =р. Событие, состоящее в том, что Х примет значение x1 влечет за собой событие, которое состоит в том, что Х + Y примет значение x1 + y1 или x1+ y 2 и обратно. Отсюда и следует, что р11 + р12 =р. Аналогично доказывается рав-ва р21 + р22 =р2, р11 + р21 =g1, р12 + р22 = g2. Подставим правые части этих равенств в соотношение (*), получим М(Х + Y) = (x1р1 + x2р2 )+ (y1g1+y2g2), и в итоге М(Х + Y) = M (Х ) + М(Y ).