Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция y = sin x получит приращение

Воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами предела функции, получаем

Утверждение 1) доказано. Утверждение 2) доказывается аналогично, заметим только, что приращение функции y = cos x можно записать так:

Для доказательства утверждения 3) используем утверждения 1), 2) данной теоремы и теорему 3. Имеемs

Утверждение 3) доказано. Утверждение 4) доказывается аналогично.

Вопрос 20. Дифференциал функции. Инвариантность его формы.

Вопрос 24. Теорема Коши. Правило Лопиталя (неопределенность в конечной точке).

Вопрос 26. Необходимое и достаточное условие монотонности функции. Достаточное условие строгой монотонности.

Вопрос 30. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.

Вопрос 32. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства. Правила интегрирования.

Свойства первообразной. 1. Если  F– первообразная для функции  f,  то  F + С,  где  С – константа, также является первообразной для той же функции.  Действительно,  (F + С)' = F' + С ' = f + 0 = f. 2. Если  F1  и  F2 – две первообразные для одной и той же функции  f,  то они отличаются на постоянное слагаемое. Действительно, если  F1' = f  и  F2' = f,  то  (F1 - F2)' = F1 ' – F2' = f - f = 0.  Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак,  F1 – F2 = С. Таким образом, все первообразные для функции  f  получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной. Надо помнить, что знак    является «неопределенным» в том смысле, что он обозначает какую-нибудь первообразную. 3.   Действительно, пусть  F  и  G  – первообразные для функций  f  и  g  соответственно. Тогда  F + G  является первообразной для функции   f + g:  (F + G)' = F' + G' =f + g. 4.   Доказывается аналогично. 5. Линейная замена переменной. Теорема.  Пусть  F – первообразная для функции  f.  Тогда   Действительно, вычислим производную от  F(kx + b):  (F(kx + b))' = kF '(kx + b) = kf (kx + b). Отсюда  F (kx + b)  является первообразной для функции  kf (kx + b)

Свойства неопределенного интеграла:

Правила интегрирования

Вопрос 34. Интегрирование рациональных дробей.

Вопрос 36, 38, 40,42 от руки!

Вопрос 1 Действительные числа. Числовая ось. Ограниченные множества. Существование точных граней.

Вопрос 3 Понятие функции. Определение предела функции в точке , на бесконечности. Бесконечные пределы. Односторонние пределы

Вопрос 5. Теорема о представлении функции, имеющей предел. Теорема о пределе суммы бесконечно малых функций.

Если функция f(x) имеет в точке X₀ R конечный предел . То существует окрестность точки Х₀ в которой функция может быть представлена в виде f(x)= b+β(x) , где β(x)- б.м в точке Х_0.

Верно и обратное утверждение .

Док-во

Введем функцию β(x)= b-f(x), тогда для любого ε>0 Ǝδ(ε)>0 (если Х₀ R) такое что, при I X – X₀ I< δ(ε); I β(x) I = I f(x) – b I < ε => =0 => β(x)- б.м.

Сумма б.м. есть б.м. функция

Док-во

Пусть β₁(x);β₂(x);β_n(x)- б.м. в Х₀ R

Докажем , что б.м в Х₀. Берем  ∀ ε>0 и находим ε1 . Для этого ε₁ для∀ βi(x) существует δi(ε₁), такое что при I x – x₀ I < δi(ε₁) верно Iβi(x)I< ε₁

Найдем δ=min δi(εi) При I X- X₀I < δ , X не равно X₀. Получим I I< <n*ε₁ = = ε

• =0