Вопрос 29. Выпуклые вверх, вниз функции. Достаточное условие строгой выпуклости функции вверх.

Вопрос 31. Асимптоты графика функции.

Определение 1. Горизонтальная асимптота.

Прямая y=b называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x) , если существует один или оба из пределов =b

Определение 2. Вертикальная Асимптота

Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x) если существует , либо

Определение 3. Наклонная асимптота.

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой , если существует =0

Теорема

Если существует = k , k и при этом k существует , то прямая y=kx+b – наклонная асимптота

Примеры от руки

Вопрос 33. Интегрирование по частям. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Вопрос 35. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

Пусть f(x) определена на [a,b] , a<b . На [a,b] возьмем точки .

Xi<Xi+1, n- число которое фиксируем.

Получается так называемое разбиение

[Xi,Xi+1] – частичные отрезки , I =0 , n=1

Величина max(Xi+1-Xi) называется мелкостью разбиения и записывается как

Строится интегральная сумма функции f(x) по разбиению и произвольным выбором на каждом отрезке [Xi,Xi+1] , так называемой опорной точки Кси ѯ (i)

Знак написать потом = )

Определение 1. Говорят , что интегральная сумма ( ) имеет предел I При I I 0, если для , 0, такое что , для всех разбиений с мелкостью I I< и произвольным выбором точек ѯ (i) , i=0,…n Выполняется I - I I<

Определение 2. Функция f(x) называется интегрируемой ( по Риману) на [a,b], если предел I её интегральных сумм и при этом обозначается I = и называется определенным интегралом от f(x) по [a,b]. a,b называются верхним и нижним пределами.

Вопрос 36. Свойства интегрируемых функций. Свойства определнных интегралов.

1) Если у Интегрируемой функции изменить значения в конечном числе точек, то она останется интегрируемой и не изменится .

2) Линейность. Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b] , то kf(x) , k , f(x) g(x), тоже интегрируемы и верно =k

= +

3) Аддитивность.

a)Если f(x) интегрируема на [a,b] , то она интегрируема на любом отрезке [ ]<[a,b]

б) Для : =

Следствие: Если f(x) интегрируема на большем из отрезков [a,b],[a,c],[b,c], то

4) Если f(x) интегрируема на [a,b] ,то If(x)I тоже интегрируема и верно

5) a)Если f(x) интегрируема на [a,b] и f(x) 0, то

б) Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b] и f(x) g(x), то

в) Если f(x) интегрируема на [a,b] и m (m=inf f(x); M=supf(x);b>a)

, то m(b-a)

Вопрос 37. Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема о среднем для определенного интеграла .

Если f(x) интегрируема на [a,b] , причем a и b - (a b), то существует число , m M , такое что , где M=supf(x), m=inff(x)

Доказательство.

Если b>a , то в качестве можно взять

Если b<a , то

Следствие:

Если f(x) непрерывна на [a,b] , то она ,как известно, принимает любое промежуточное значение между m= minf(x), M=maxf(x) , то есть ,f(ѯ) = M и Теорема о среднем записывается в виде:

f(ѯ)= - интегральное среднее.