2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд 19

2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами 21

2.3. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами 25

2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами 28

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля 42

4.3. Свойства степенных рядов 49

4.4. Формула Тейлора 50

Лекция 5. Ряды Тейлора и Маклорена 58

5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции 58

1.1. Некоторые сведения о последовательностях

Пусть каждому значению N поставлено в соответствие (по определённым правилам) определённое действительное число R; тогда множество упорядоченных действительных чисел называется числовой последовательностью и обозначается , где − общий член последовательности. Например, последовательность имеет общий член , где N.

Определение 1. Последовательность называется убывающей, если N, и возрастающей, если N.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число М, R, что N, и ограниченной снизу, если существует такое число М, R, что N.

Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена как снизу, так и сверху, т.е. существует такое число М > 0

( R), что .

Определение 4. Число а называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдётся такой номер N, зависящий от , что для всех натуральных чисел выполняется неравенство . Тогда означает,

что N такое, что для всех N: . При

этом говорят, что последовательность сходится к числу а.

Приведём некоторые свойства сходящихся последовательностей.

–Если последовательность имеет предел, то он единственен.

–Если последовательность имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена.

–Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

–Если последовательность возрастает (убывает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет бесконечный предел +  (− ).

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходимость, расходимость, сумма ряда. Примеры

Пусть задана бесконечная последовательность чисел R.

Определение 5. Бесконечным числовым рядом называется выражение вида , обозначаемое как . Числа называются членами (элементами) числового ряда.

Определение 6. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда: .Тогда и т.д. Получаем последовательность частичных сумм : .

Таким образом, каждому числовому ряду можно поставить в соответствие последовательность частичных сумм : .

Определение 7. Если существует конечный или бесконечный предел S

последовательности частичных сумм , то он называется суммой ряда , т.е. .

Если S конечно (S < ), то ряд называется сходящимся; если S =  или S не существует, то ряд называется расходящимся и суммы ряд не имеет.

Итак, если дан ряд, то всегда можно поставить вопрос, сходится ли он (иными словами, существует ли конечный предел ) или расходится?

Приведём примеры исследования ряда на сходимость и нахождения его суммы.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.

Решение. Обозначим − общий член ряда. Тогда частичная сумма ряда . Так как , то . Тогда , т.е. ряд сходится и его сумма S = 1.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.

Решение. Обозначим − общий член ряда. Тогда, частичная сумма ряда . Так как

, то

, тогда , т.е. ряд сходится и его сумма .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим общий член ряда . Тогда, частичная сумма ряда , , т.е. сумма ряда и ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии.

Решение. Пусть дана геометрическая прогрессия , где q − знаменатель прогрессии. Ряд называется рядом геометрической прогрессии. Обозначим − общий член ряда. При n- частичная сумма этого ряда равна

.

Рассмотрим частные случаи.

–Если , то , т.е. ряд сходится.

_–Если , то не существует, т.е. последовательность

расходится, а значит расходится и исследуемый ряд геометрической

прогрессии.

–При ряд имеет вид . Тогда , , т.е. ряд расходится.

–При , ряд имеет вид , тогда , т.е. предела последовательности не существует, а значит, искомый ряд расходится.

Таким образом, ряд геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда , в остальных случаях ряд расходится.