Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд

Определение 1. Числовой ряд вида называется рядом Дирихле с показателем р, R. Заметим, что при получаем ряд , который называется гармоническим.

Пример 1. Исследовать ряд Дирихле на сходимость в зависимости от р.

Решение. 1) В случае, если , члены ряда образуют неубывающую последовательность, а сам ряд расходится по необходимому признаку сходимости ( ).

2) В случае для исследования сходимости ряда используем интегральный признак Коши. Введём функцию , которая удовлетворяет всем условиям теоремы Коши (теорема 3, лекция 1, разд. 1.5): при она непрерывна, положительна и монотонно убывает, . Вычислим несобственный интеграл в двух случаях а) , б) , т.е. когда :

–Если , , то при , тогда , следовательно, несобственный интеграл расходится и расходится исходный ряд.

–Если , , то при , тогда , следовательно, несобственный интеграл сходится и сходится исходный ряд.

3) В случае имеем гармонический ряд , для которого также применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим интеграл , следовательно, несобственный интеграл расходится, а значит, гармонический ряд расходится.

Вывод: ряд Дирихле сходится, если , и расходится, если .

2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами

Рассмотрим некоторые признаки, устанавливающие сходимость или расходимость рядов с положительными членами путём сравнения их с рядами, сходимость или расходимость которых известна.

Теорема 1 (I признак сравнения рядов с положительными членами). Пусть даны 2 ряда с положительными членами и . Если, начиная с некоторого номера N, для всех выполняется неравенство , тогда

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда , 2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа членов (свойство 1, лекция 1, разд. 1.3) не влияет на сходимость или расходимость ряда, можно считать, не нарушая общности, что условие выполнено для всех . Пусть − частичная сумма ряда , а − частичная сумма ряда . По условию .

1) Если ряд сходится, то последовательность ограничена сверху, а значит, ограничена сверху и последовательность . Следовательно, по теореме 2 (лекция 1, разд. 1.4) о необходимом и достаточном условии сходимости ряда с положительными членами ряд сходится, так как существует конечный предел последовательности .

2) Если ряд расходится, то последовательность не ограничена, а значит, не ограничена и последовательность . Тогда по теореме 2 (лекция 1, разд. 1.4) ряд расходится. Теорема доказана.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . Сравним ряд с гармоническим рядом . При , а так как гармонический ряд

расходится, то расходится и ряд .

Ответ: ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . Сравним данный ряд с рядом

геометрической прогрессии , который сходится, так как знаменатель прогрессии , то первые члены ряда равны, а при , , значит, ряд сходится по I признаку сравнения.

Ответ: ряд сходится.

Теорема 2 (предельный признак сравнения рядов с положительными членами). Даны 2 ряда с положительными членами и и пусть существует , тогда эти два ряда либо сходятся, либо расходятся одновременно.

Доказательство. Так как по условию и , то согласно свойству предела . По условию , значит, . По определению предела для всех существует окрестность точки С такая, что и существует такое натуральное число , зависящее от , что для всех выполняется неравенство , или .

Если ряд сходится, то сходится и ряд (свойство 2, лекция 1, разд. 1.3), откуда по I признаку сравнения рядов следует сходимость ряда , так как .

Если же ряд расходится, то расходится и ряд , а так как , то по I признаку сравнения рядов ряд также расходится. Теорема доказана.

Замечание. Если , или , то предельный признак не применим (теорема 2 в этих случаях не верна).

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . Рассмотрим ряд . Так как

, то эти два ряда одновременно сходятся,

или расходятся (теорема 2). Поскольку − ряд Дирихле с

сходится, следовательно, исходный ряд тоже сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . Рассмотрим гармонический ряд который расходится. Так как то по теореме 1 ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.