Натуральная степень

Число называется n-й степенью числа , если

.

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством.

7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень

не определён

Рациональная степень

По определению,

(результат не определен при и )

Вещественная степень

Пусть .

В школе вещественную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда , где , , где — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между и принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов.

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .

Степень как функция

Поскольку в выражении принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

• функцию переменной x (при этом y — параметр). Такая функция называется степенной. Это — частный случай полиномиальной функции.

• функцию переменной y (при этом x — параметр). Такая функция называется показательной. Её частный случай — экспонента.

• функцию двух переменных.

Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а — показателем степени.

• В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.

• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.

• В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Определение показательной функции

Пусть — неотрицательное вещественное число, — рациональное число: . Тогда определяется по следующим правилам.

• Если , то .

• Если и , то .

  • Значение не определено (см. Раскрытие неопределённостей).

• Если и , то .

  • Значение при не определено.

Для произвольного вещественного показателя значение можно определить как предел последовательности , где — рациональные числа, сходящиеся к . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например: