Предельные соотношения
Приведём несколько полезных пределов, содержащих логарифмы.
Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.
К тригонометрическим функциям относятся:
прямые тригонометрические функции
синус (sin x)
косинус (cos x)
производные тригонометрические функции
тангенс (tg x)
котангенс (ctg x)
другие тригонометрические функции
секанс (sec x)
косеканс (cosec x)
В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x.
Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.).
Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и дифференцируемыми функциями. Остальные четыре функции на вещественной оси также периодические и дифференцируемые на области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ±πn + π/2, а котангенс и косеканс — в точках ±πn.
Геометрическое определение
Рис. 6. Определение тригонометрических функций
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB, ординату обозначим yB.
Синусом называется отношение
Косинусом называется отношение
Тангенс определяется как
Котангенс определяется как
Секанс определяется как
Косеканс определяется как
Рис. 7. Численные значения
тригонометрических функций угла
в тригонометрической
окружности с радиусом, равным единице
Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате yB, а косинус — абсциссе xB. На рисунке 7 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.
Если α — вещественное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.
Определение тригонометрических функций для острых углов
Рис. 8. Тригонометрические функции острого угла
Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:
Синусом угла α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
Косинусом угла α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
Тангенсом угла α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему).
Котангенсом угла α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Секансом угла α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
Косекансом угла α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники.