5. Теорема сложения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
«Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий»
Р(А + В + …k) = Р(А) + Р(В) + …+ P(k), где А, В, …, k – несовместные.
Доказательство.(сумма двух событий)
Пусть в результате испытаний из общего числа n равновозможных и несовместных исходов испытаний А благоприятствует m1 случаев, а В – m2 случаев. Тогда вероятность события А (по классич. опр.) равна m1/n, а
Р(В) = m2/n , т.к. события А и В несовместные, то ни один из случаев благоприятствующий событию А, не благоприятствует событию В, след. (А+В) благоприятствует (m1+m2) случая, след.
Р(А+В) = (m1+m2)/n = m1/n + m2/n = P(A)+P(B)
Следствие 1:
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.
Следствие 2:
Сумма вероятностей противоположных событий так же равна 1.
!!!Замечание: Рассмотренная теорема применима только для несовместных событий.
Теорема сложения вероятностей совместных событий.
«Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения»
Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ) А и В – совместные события
Доказательство:
Пусть n-число возможных исходов опыта; mА-число исходов благоприятствующих соб.А; mB-//-соб.В; mАВ – число исходов опыта, при котором происходят оба события, т.е. исходов благоприятных А*В, тогда число исходов, при котором имеет место событие А+В=mA+ mB- mAB (т.к. в сумме mA+mB, mAB учтено дважды: как исходы благоприятные А, и исходы благоприятные В
6. Сумма и произведение совместных событий и их геометрическая интерпретация.
См билет 3
7. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.
Опр.:
условной вероятностью
соб.А
называется вероятность соб.В при
условии, что событие А произошло (пример:
пусть соб.А - это извлечение из колоды
в 32 карты туза; соб.В – вторая вынутая
карта из колоды оказалось тузом. Если
после 1-го раза карта возвращается в
колоду, то вероятность вынуть туз не
меняется и равна 4/32, если же 1-я карта в
колоду не возвращается, то осуществление
соб.А прибудет к тому, что в колоде
остается 31 карта из которой 3 туза
– условная вероятность
Теорема
(умножения зависимых событий): вероятность
произведения двух событий равна
произведению вероятности одного события
на условную вероятность другого, при
условии, что 1-ое событие произошло:
Доказательство: Пусть n-число возможных исходов опыта; mА-число исходов благоприятствующих соб.А; mB-//-соб.В, mАВ – число исходов опыта, при котором происходят оба события,. для вычисления условной вероятности , множеством возможных исходов нужно считать mА(т.к. А произошло), а множеством благоприятных исходов, необходимо считать исходы, при которых произошли и А, и В.
=>
Пример: для поражения цели необходимо попасть в неё дважды. Вероятность 1-го попадания 0,2, затем она не меняется при промахах, но после 1-го попадания увеличивается в 2 раза. Найти вероятность того что цель будет поражена первыми двумя выстрелами.
Решение: соб.А – попадания при первом выстреле
Соб.В - //- при 2-ом выстреле
,
А и В совместные события
Пусть вероятность соб.В не зависит от появления соб.А
Событие В называют независимым от события А, если появление соб.А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность соб.В равна его безусловной вероятности:
подставив
данное равенство в
получим
,
отсюда
,
т.е.условная вероятность соб.А в предположении, что наступило соб.В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, соб.А не зависит от соб.В
Итак, если соб.В не зависит от соб.А, то и соб.А не зависит от соб.В; это значит, что свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения имеет вид
,
Т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий, поэтому событие «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.