28. Закон распределения случайных величин входящих в систему
Двумерной называют случайную величину (X, У), возможные значения которой есть пары чисел (х, у). Составляющие X и У, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Функцией
распределения вероятностей
двумерной случайной величины
называют функцию F
(х, у), определяющую
для каждой пары чисел (х, у)
вероятность
того, что X
примет
значение, меньшее X,
и
при этом Y
примет
значение, меньшее у:
Рассмотрим
случай двух дискретных случайных
величин ( X,Y ).
Считаем, что множество значений каждой
из них конечно - 
Обозначим
-
вероятность того, что Х примет
значение 
,а Y –
значение 
. Законом
распределения системы ( X,Y
) называется совокупность всех
возможных значений , т.е. пар чисел 
и
соответствующих им вероятностей 
. Обычно
закон распределения задается в виде
прямоугольной таблицы с
двойным входом:
Сумма всех вероятностей , стоящих в матрице, равна единице как сумма вероятностей полной группы несовместных событий:
Зная
закон распределения системы ( Х,Y ),
можно найти
законы (ряды)
распределения отдельных величин
Х и Y,
входящих в систему. Обозначим 
События 
несовместны,
поэтому вероятность того, что Х примет
значение 
по
теореме сложения вероятностей 
,
т.е.
равна сумме вероятностей «столбца
»
.
В
общем случае 
и,
аналогично, 
.
Т.е.,
для того, чтобы найти вероятность 
,
надо просуммировать вероятности
«столбца
».
Аналогично, сложив вероятности
«строки
»,
получим вероятность 
.
После этого можно составлять законы
распределения для Х и Y.
Если
между случайными величинами
и
существует
стохастическая связь, то одним из
параметров, характеризующих меру этой
связи является ковариация
.
24. Нормальное распределение. Функция Лапласа
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.
Обозначим 
Тогда 
Т.к.
интеграл 
не
выражается через элементарные функции,
то вводится в рассмотрение функция
Которая-называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.
Ниже показан график функции Лапласа.
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1) Ф(0) = 0; 2) Ф(-х) = - Ф(х); 3) Ф(Y) = 1.
Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.
Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:
Ниже показан график нормированной функции Лапласа.
