7. Функциональные ряды. Область сходимости.

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х₀), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х₀.

Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

8. Степенные ряды. Радиус и область сходимости.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

9. Разложение в степенной ряд

10. Разложение в степенной ряд

f(0)=0

11. Разложение в степенной ряд

12. Разложение в степенной ряд

;

;

;

при X=1 ряд тоже сходится

13. Разложение в степенной ряд

;

14. Применение рядов в приближенных вычислениях.

Приближенное вычисление значений ф-ций.

- входит в обл. сходимости.

Подставляют

В зависимости от того, с какой точностью требуется вычислить оставляют достаточное число членов этого числового ряда. Достаточное число слагаемых берут из оценки достаточного члена ф-лы Тейлора или ост члена ряда Тейлора. Либо для знакочередуюшегося ряда, используя следствие из признака Лейбница.

Пример: Найти значение с точностью до 0,01

Вычисление сумм числовых рядов.

15. Разлож. в ряд Фурье функции в интервале

Для нахождения суммы числовых рядов применяется формула .

При x=x₀ удается найти сумму соотв. числового ряда не прибегая к нахождению частичных сумм ряда.

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от - до .

Получаем.

; ; .

16. Разложение в ряд Фурье функции в интервале

17. Разложение в ряд Фурье функции в интервале (-l;l)

Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:

18. Двойной интеграл его свойства.

Пусть на фигуре Е задана ограниченная функ­ция (ЕR²) f. Возьмем разбиение {E_i}, выберем точки x_iE_i и построим интегральную сумму:

Определение: Если интегральные суммы при d{E_i}0 имеют предел, т.е. для любого  существует такое , что для любого {E_i} и для любого x_iE_i при d{E_i} выполняется неравенство I-, (т.е. интегральные суммы имеют предел I), то функция называется интегри­руемой в смысле Римана на Е, а число I называют двойным интегралом от функции f на Е и обозна­чают: