31. Приложения криволинейный интеграл 2-го рода.

32. Поверхностный интеграл 1-го рода, их св-ва и выч..

Если при стремлении к нулю шага разбиения  поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.

1) S – площадь поверхности.

2)

3)

4

5) Если , то

6)

Вычисления поверхностного интеграла первого рода через двойной интеграл по по площади проекции поверхности на плоскость XOY.

33. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

34. Поверхностный интеграл 2-го рода, их св-ва и выч..

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

1) 2)

3)

4)

5) Если , то

6)

Пример. Вычислить интеграл по верхней стороне полусферы

,

35. Формула Остроградского.

Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными дум доугим координатным осям

Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

На практике формулу Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

место формулы:

Пример. Найти формулу вычисления объема шара.

В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.

Уравнение шара имеет вид:

Найти объем шара можно по формуле:

Для решения этой же задачи можно воспользоваться преобразованием интеграла к сферическим координатам.

36. Скалярное поле и его характеристики.

Определение. Если каждой точке пространства М ставится в соответствие некоторая скалярная величина U, то таким образом задается скалярное поле U(M).

37. Производная скалярного поля по направлению вект.L.

38. Векторное поле и его характеристики.

Если каждой пространства М ставится в соотвтствие вектор , то задается векторное поле (М).

Пусть в пространстве М задана поверхность . Будем считать, что в каждой точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором .

В пространстве М зададим векторное поле, постовив в соответствие каждой точке точке пространства вектор, определенный координатами:

Если разбить каким – либо образом поверхность на частичные участки _i и составить сумму , где - скалярное произведение, то предел этой суммы при стремлении к нулю площадей частичных участков разбиения (если этот предел существует) будет поверхностным интегралом.

39. Векторные линии.

40. Дивергенция.

Определение. Выражение называется дивергенцией вектора (дивергенцией векторной функции) и обозначается

Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть записана в виде:

или

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограниченную этим объемом.

41. Ротор.

Определение. Вектор , компоненты которого равны соответственно равны

называется вихрем или ротором вектора и обозначается

42. Поток векторного поля через поверхность.

Определение. Поверхностный интеграл называется потоком векторного поля через поверхность .

Если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, то поток векторного поля через всю поверхность будет равен сумме потоков через частичные поверхности.

Если преобразовать скалярное произведение в координатную форму, то получаем соотношение:

Если на области  существует функция f(x, y, z), имеющая непрерывные частные производные, для которых выполняются свойства: