9.Ду равновесия жидкости

Для того чтобы рассмотреть равновесие жидкостей под влиянием всех действующих на него сил выделим отсек жидкости малых размеров в виде параллелепипеда. Принимаем параллелепипед твёрдым телом и составляем 3 уровня проекций сил .

∑ Fx=0

∑Fy=0

∑Fz=0

Масса жидкости в выделенном объёме:

На боковые грани параллелепипеда действуют силы давления: (на левую и правую грани соответственно): dPx и dPx’. На переднюю и заднюю грани: dPy и dPy’. На верхнюю и нижнюю грани: dPz и dPz’.

Поскольку давление на правую грань больше, то

По аналогии можно записать силы давления на остальные пары граней: на переднюю , на заднюю , на нижнюю , на верхнюю .

Проекции массовых сил на координатные оси:

Тогда сумма сил действующих вдоль оси ОX:

Вдоль оси ОY:

Вдоль оси OZ:

Где Jx , Jy, Jz проекции ускорения массовых сил на координатные оси.

После преобразования получим систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости:

10. Основное ду гидростатики

- ∂P∕∂x+ρ*x=0

-∂P∕∂y+ρ*y=0

-∂P∕∂z+ρ*z=0

Эта система уравнений называется системой дифференциальной системой уравнений равновесия жидкости Эйлера и выражает дифференциальную формулу закона распределения гидростатического давления. Умножим её на dx, dy, dz и произведя небольшие преобразования и сложения получим:

-(∂P∕∂x* dx+∂P∕∂y* dy+∂P∕∂z* dz)+ρ(x*dx+y*dy+z*dz)=P (1) , где dx,dy,dz-дифференциалы координат, а не ускорений.

В связи с тем, что гидростатическое давление зависит только от трёх независимых переменных (x,y,z), то 1-ый трёхчлен представляет собой

∂P∕∂x* dx+∂P∕∂y* dy+∂P∕∂z* dz=dP , поэтому уравнение (1) будет равно

dP= ρ(x*dx+y*dy+z*dz)

Это уравнение называется основным дифференциальном уравнением гидростатики.

11. Ду движения жидкостей.

Определим силы, действующие на этот параллелепипед.

К массовым силам относятся силы зависящие от массы данного теля ( силы тяжести).

Выделим инерциальные силы, остальные массовые силы, относящиеся к единице массы и будем выражать их в виде 3-х составляющих: Х,У,Z. Обозначим ( С) – скорость движения частицы, проходящие через (.) Р, а составляющие этой скорости через: u,v,w, тогда: С= + +

Cоставляющие ускорения :

Составляющие инерциальных сил, относящиеся к параллелепипеду:

; ;

Поверхностные силы ( Силы растяжения, давления и трения)

В идеальных жидкостях мы будем иметь следующие силы, действующие на выделенную часть жидкости в виде параллелепипеда с гранями .

Составляющие массовой силы:

По Х

По У У

По Z Z

Составляющие поверхностной силы:

По Х

По У

По Z

По принципу Даламбера получаем основное ДУ движения жидкости:

По Х

По У

По Z

12. Уравнение количества движения.

При решении некоторых задач ггд используется уравнение количества движения или уравнение импульсов. Его удобно применять в случаях, когда по условию задачи подлежат определению в нем силы, действующие н выделенную массу жидкости, а гидродинамические процессы, происходящие внутри массы не исследуются.

Для материальной (.) уравнение количества движения в проекции на некоторую ось имеет вид:

, где

v- скорость в направлениях;

F-проекция приложенных к (.) сил;

F△t- импульс силы усредненной в интервале △t.

В применении к системе материальных( .) теорема импульсов получается вид ( в проекциях на какую-нибудь ось)

В правой части импульсы только внешних сил, приложенных к (.) системы.

Выберем в трубе сечениями 1 и 2 некоторую массу жидкости. За время dt эта масса перейдет в положение 1/ и 2/. В этом случае масса жидкости ma в объеме «а» между сечениями 1 и 1/ = массе mв в объеме «в» между сечениями 2 и 2/.

;

w- площадь поперечного сечения;

Изменение за время dt кол-ва движения выделенного объема жидкости = разности количества движения в объеме «в» и объема «а» ,т.к. при установившемся движении кол-во движения объема «с» не меняется со временем.

△(mV)=𝜌2V2w2dt - 𝜌1V1w1dt

V2,V1- векторы средней скорости в сечении 1 и 2.

𝜌w=Q

△(mV)=V2Q2dt – V1Q1dt

Внешними силами приложенными к выделенному объему сила тяжести G, сила давления Р1 на сечение 1 и Р2 на сечение 2 нормальные к этим сечениям и направлены внутрь объема и искомая сила R реакции стенок трубы.

Ур-е импульсов после сокращения на dt имеет вид:

Q2V2-Q1V1=G+P1+P2+R

Эйлером был указан удобный способ нахождения силы R. Переносим в уравнении импульсов все слагаемые в одну сторону.