30. Решение вариационных задач на условный экстремум при наличии интегральной связи. Пример.

Задачи на условный экстремум – это задачи, в которых функции, доставляющие экстремум функционалу, сами подчиняются некоторым добавочным условиям уравнения связи.

Задачи на условный экстремум формируются следующим образом: найти функцию, доставляющую экстремум функционалу ,

проходящую через точки: , , при условии, что на функции y₁…y_n наложены некоторые связи. Эти связи бывают трех видов:

1. Интегральная (изопериметрическая): , j = 1…m

2. Голономная связь, когда неизвестные функции связаны алгебраическим уравнением : φ_i (x,y,…y_n) = 0

3. Неголономная связь (общая задача Лагранжа): φ_i (x,y,…y_n, y’,…y_n^’) = 0

Решение задачи с интегральными связями: для решения такой задачи исп-ся неопределенные множители Лагранжа, т.е. для того, чтобы найти функцию, доставляющую экстремум функционалу, которая проходила бы через граничные точки: , необходимо составить новую подынтегральную функцию: Н = F (x,y,…y_n, y’,…y_n^’) + , где λ_j – неопределенные множители Лагранжа. Дальше составляем уравнение Эйлера и считаем по нему. Получим 2n+m неизвестных.

Пример: найти экстремаль функционала

, y(0)=0, y(1)=0

- новая подынтегральная функция;

, - к уравнению Эйлера;

λ – 2y’’ = 0 - уравнение Эйлера;

y’’= ;

y’= x + C₁, y = ,

для нахождения С₁, С₂ и λ имеются граничные условия.

31. Решение вариационных задач на условный экстремум с голономными связями.

Задачи на условный экстремум – это задачи, в которых функции, доставляющие экстремум функционалу, сами подчиняются некоторым добавочным условиям уравнения связи.

Задачи на условный экстремум формируются следующим образом: найти функцию, доставляющую экстремум функционалу ,

проходящую через точки: , , при условии, что на функции y₁…y_n наложены некоторые связи. Эти связи бывают трех видов:

1. Интегральная (изопериметрическая): , j = 1…m

2. Голономная связь, когда неизвестные функции связаны алгебраическим уравнением : φ_i (x,y,…y_n) = 0

3. Неголономная связь (общая задача Лагранжа): φ_i (x,y,…y_n, y’,…y_n^’) = 0

При решении задач с голономной связью применяется прием аналогичный интегральной задачи. Для того чтобы найти экстремаль функционала:

при наличии голономной связи:

φ_i (x,y,…y_n) = 0

и прохождении через граничные точки:

,

необходимо веси промежуточную функцию Н, которая представляет собой:

Н = F (x,y,…y_n, y’,…y_n^’) + ,

где - неизвестные функции.

Дальше ищем как обычно – составляем уравнение Эйлера. Для неизвестных функций имеем n уравнений Эйлера и m уравнений связи.

32. Решение вариационных задач на условный экстремум с неголономными связями.

Задачи на условный экстремум – это задачи, в которых функции, доставляющие экстремум функционалу, сами подчиняются некоторым добавочным условиям уравнения связи.

Задачи на условный экстремум формируются следующим образом: найти функцию, доставляющую экстремум функционалу ,

проходящую через точки: , , при условии, что на функции y₁…y_n наложены некоторые связи. Эти связи бывают трех видов:

1. Интегральная (изопериметрическая): , j = 1…m

2. Голономная связь, когда неизвестные функции связаны алгебраическим уравнением : φ_i (x,y,…y_n) = 0

3. Неголономная связь (общая задача Лагранжа): φ_i (x,y,…y_n, y’,…y_n^’) = 0

При решении задач с неголономной связью применяется прием аналогичный интегральной задачи. Для того чтобы найти экстремаль функционала:

при наличии голономной связи:

φ_i (x,y,…y_n, y’,…y_n^’) = 0

и прохождении через граничные точки:

,

необходимо веси промежуточную функцию Н, которая представляет собой:

Н = F (x,y,…y_n, y’,…y_n^’) + ,

где - неизвестные функции.

Дальше ищем как обычно – составляем уравнение Эйлера. Для неизвестных функций имеем n уравнений Эйлера и m уравнений связи.