20. Наведіть технологічну послідовність розрахунку за допомогою програм, що реалізують метод скінчених елементів.

В МКЭ различают общую (глобальную, систему координат конструк-

ции) и местную (локальную, систему координат КЭ) системы координат.

Общие оси координат X 0 , Y 0 , Z 0 задаются для всей конструкции. Об-

щая система координат остается неподвижной в процессе деформации

конструкции и перемещения узлов сопряжения стержней определяются

относительно указанных осей. В основном общая система координат ис-

пользуется при выводе уравнений для всей конструкции (разрешающая

система уравнений равновесия). Местные оси координат X, Y, Z связаны с

определёнными КЭ. Так как КЭ различным образом ориентированы друг

относительно друга, то местные оси координат также различно ориенти-

рованы, т. е. у каждого КЭ своя система координат XYZ. Местная система

координат используется в уравнениях для отдельных КЭ. Силам и пере-

мещениям в узлах КЭ соответствуют векторы-столбцы. Для одного i-го

узла КЭ в общем случае (пространственная задача) в местной системе ко-

ординат векторы узловых сил {Pi} и перемещений {Zi} будут

 Px  u 

P  v

 y  

P  w

Pi    z  ,

  Z i    

 

M x   x 

M y   y 

   

M z 

   z 

 

где Px , Py , Pz – узловые силы по направлению осей X, Y и Z;

M x , M y , M z – узловые моменты относительно соответствующих осей;

u , v , w – соответственно линейные перемещения вдоль осей X, Y, Z;

 x ,  y ,  z – угловые перемещения относительно соответствующих осей.

Очевидно, векторы узловых сил и перемещений КЭ в общей системе

координат будут {P 0 } и {Z 0 }. Силовыми величинами, соответствующими

линейным перемещениям являются силы P в векторе узловых сил, а соот-

ветствующими угловыми перемещениям являются моменты M.

при расчёте стержневых систем применяется гипотеза плоских сече-

ний, т. е. предполагают, что отрезок, проведенный перпендикулярно ней-

тральной линии стержня в недеформированном состоянии, остается нор-

мальным к нейтральной линии (ось стержня, проходящая через центры

тяжести сечений) и после деформации. Мерой смещения точек сечения

служит угол φ поворота сечения (угол поворота нормали, отмеряемой от

недеформированного состояния). Считается, что значение этого угла рав-

но тангенсу угла наклона нейтральной линии.

Соотношения между силами и перемещениями в МКЭ в форме пере-

мещений представляют собой уравнения жёсткости (статические уравне-

ния метода перемещений в строительной механике).

Уравнения жёсткости для КЭ являются линейными алгебраическими

уравнениями равновесия, которые имеют место в любой системе коорди-

нат и записываются в виде

[Kr] {Zr} = {Pr},

где [Kr] – матрица жёсткости r-го КЭ;

{Zr} – вектор узловых перемещений КЭ;

{Pr} – вектор узловых сил КЭ.

Элементы матрицы жёсткости КЭ представляют собой реакции в узлах

КЭ от единичных перемещений. Так как у стержня два узла, то векторы

узловых перемещений и узловой нагрузки КЭ будут содержать по два со-

ответствующих вектора перемещений {Z} и сил {P} начала i и конца j

стержня, т. е.

 Zi   Pi 

Z r    , Pr    .

 Zj  Pj 