14.4. Понятие аналитической функции. Сопряженные гармонические функции

О: Однозначная функция w = (z) называется аналитической (регулярной, голоморфной) в т. если она дифферен-

цируема в некоторой окрестности точки Функция

w = (z) называется аналитической в области D если она аналитическая в каждой точке D.

Однозначные основные элементарные функции

являются аналитическими в Z Примером дифференцируемой, но не аналитической в точке функции является Действительно,

т.е. условия Коши—Римана выполняются для только в

т. z = 0. Таким образом, она в этой точке дифференцируема, но не аналитическая.

Отметим, что аналитическая в D функция w = (z) имеет в D производные любого порядка

Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю: . Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим вследствие условий Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L. Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл имеет одинаковое значение. Доказательство полностью повторяет доказательство Теоремы 1 раздела 16.3.3.5.1. Объединение L₁∪L₂⁻ кривых - замкнутый контур, поэтому . Оказывается, что справедлива и обратная теорема Морера: если функция w = f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю, то функция аналитична в области D.

19.6.2.2. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L₀ (внешняя граница),L₁, L₂, …, L_k, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю. Доказательство и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной области. Рассмотрим случай, когда граница области (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L₀ и внутренних контуров L₁ и L₂. Соединим контур L₀ разрезом FM с контуром L₁, разрезом BG - с контуром L₂. Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши: . Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны. В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой. Мы доказали, что . Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.