12.3 Вычисление вычетов

         1. Пусть а есть простой полюс функции   . Тогда

.

         Частный случай. Пусть   имеет вид  , причем  ,  , но  . Тогда

.

Этой формулой на практике приходится пользоваться чаще всего.

         2. Пусть а есть полюс n-го порядка функции   . Тогда

.

         Отметим самый принципиальный момент: хотя вычет и определяется через интеграл, но вычисляются они без всяких интегралов. Поэтому не вычеты вычисляются через интегралы, а наоборот – интегралы вычисляются через вычеты! И это – самое главное, так как именно через вычеты вычисляется огромное количество несобственных интегралов, которые относятся к классу неберущихся интегралов, то есть у которых первообразная не принадлежит к классу элементарных функций.

12.4 Основная теорема теории вычетов

         Теорема. Пусть   - аналитическая внутри контура С функция за исключением конечного числа изолированных особых точек  . Тогда

.

Именно эта теорема дает возможность вычислять целые классы несобственных интегралов через вычеты функции  . Приведем только простейшую из соответствующих теорем.

12.5 Вычисление интегралов вида

         Теорема. Пусть   есть функция, аналитическая в верхней полуплоскости   за исключением конечного числа изолированных особых точек, и существуют такие   и  , что

,

где сумма берется по всем особым точкам, лежащим в верхней полуплоскости  .

Тогда

. 

Поведение аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки.