Тема 4. Сложные проценты

1. Наращение по сложной декурсивной процентной ставке

2. Сложные переменные ставки

3. Начисление процентов при дробном числе периодов

4. Наращение процентов m раз в году

5. Дисконтирование по декурсивной сложной ставке процентов

6. Операции со сложной учетной ставкой

7. Непрерывные наращение и дисконтирование

8. Определение срока платежа и процентных ставок для случая применения сложных процентных ставок

Наращение по сложной процентной ставке

S = P (1 + i)ⁿ, (4.1)

где S – наращенная сумма;

P – первоначальный размер долга;

i – годовая процентная ставка;

n – число лет наращения.

Формула (3.1) – формула наращения по сложным процентам (формула сложных процентов),(1+i)ⁿ=qⁿ – множитель наращения по сложным процентам.

Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называют капитализацией процентов.

Проценты за весь срок наращения равны:

I = S – P = P [(1 + i)ⁿ – 1]. (4.2)

Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты:

I_p = P [(1 + i)ⁿ – (1 + ni)]. (4.3)

Переменные ставки

S = P , (4.4)

где i_t – ставка сложных процентов в периоде t, ( );

n_t – продолжительность периода с постоянной ставкой (n = ).

Различие в применении простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляется при определении времени, необходимого для увеличения первоначальной суммы в N раз.

Для простых процентов:

. (4.5)

Для сложных процентов:

. (4.6)

Пример 4.1. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых.

=26,67; =11,52.

Для сравнения роста по простым и сложным процентам достаточно сравнить множители наращения:

Множитель наращения (i = 15%)	Срок ссуды
	30 дн.	90 дн.	180 дн.	1	5	10	100
(1 + ni)	1,0123	1,0370	1,0740	1,15	1,75	2,50	16
(1 + i)n	1,0116	1,0351	1,0714	1,15	2,0114	4,0456	1174314

Если представить полученные значения на графике, то будут очевидны следующие соотношения:

0 < n < 1	(1 + ni) > (1 + i)n,
n = 1	(1 + ni) = (1 + i)n,
n > 1	(1 + ni) < (1 + i)n.

Причем, чем больше n, тем больше различие в значении множителей.

Начисление процентов при дробном числе периодов

Иногда для некоторых операций проценты начисляются только за целое число периодов, дробная же часть периода отбрасывается.

В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяются 2 метода:

1. общий – расчет ведется по формуле (3.1), где n – дробное число;

2. смешанный – за целое число периодов проценты начисляются по формуле сложных процентов, за дробную часть – по формуле простых:

S = P (1 + i)^a · (1 + bi), (4.7)

где a – целое число периодов, b – дробная часть (n = a+b).