2.3. Расчет мгновенных токов в ветвях схемы методом узловых напряжений

В матричном виде система уравнений для метода узловых потенциалов выглядит следующим образом:

= где

 — матрица инциденций размера (q – 1) × p (q — количество узлов, р — количество рёбер) , в которой i–я строка соответствует узлу i, а j–й столбец соответствует ребру j, причём элемент A_ij равен

• 0, если ребро j не присоединено к узлу i;

• 1, если ребро выходит из узла;

• –1, если ребро входит в узел.

Понятие «входит» и «выходит» означает, что для каждого ребра задаётся направление, которое обычно ассоциируется с направлением тока в этом ребре;

 — диагональная матрица проводимостей размера p × p, в которой диагональный элемент Y_ii равен проводимости i–го ребра, а недиагональные элементы равны нулю;

 — транспонированная матрица инциденций;

 — матрица-столбец узловых потенциалов размером (q – 1) × 1. Потенциалы измеряется относительно предварительно выбранного узла, потенциал которого считается равным нулю. Нулевой узел не входит ни в одну из перечисленных в данном разделе матриц;

  — матрица-столбец источников тока размером p × 1, где каждый элемент равен току соответствующего источника, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник тока отсутствует; положительная, если направление тока источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае;

 — матрица-столбец источников ЭДС размером p × 1, где каждый элемент равен ЭДС соответствующего источника, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник ЭДС отсутствует; положительная, если направление ЭДС источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае.

Рис. 4.  Рассчитываемая электрическая схема

В соответствии с заданным базисным узлом, сформируем матрицу инциденций , а также матрицу проводимостей цепи , матрицу источников ,

		1	4	6	2	3	5
	1
	4
6x6	6
	2
	3
	5

		1	4		6		2		3		5
3х6	1	1		1		-1
	2	-1						1		1
	4					1				-1		-1

6х1	1
	4
	6
	2
	3
	5

6х1	1
	4
	6
	2
	3
	5

Перемножаем матрицы в соответствии с матричным уравнением.

Транспонируем матрицу инциденций:

		1	2			4
	1
	4
	6
	2
	3
	5

		1	2		4
6х3	1	1		-1
	4	1
	6	-1				1
	2			1
	3			1		-1
	5					-1

𝕐 𝔼 =

𝔸 𝕐 𝔼 =
	+

=
		+

Система уравнений:

=

Систему уравнений решаем с помощью программы MathCAD 2001:

		1	-1
		1
	=	-1		1			=
			1
			1	-1
				-1

	=
	=
	=
	=
	=
	=

Зная напряжения в ветвях, найдем токи в ветвях:

А,

А,

А,

А,

А,

А.

Полученные значения токов в обоих методах примерно равны.