11. Вытворная ў накірунку, яе існаванне і вылічэнне.

Паняцце вытворнай у накірунку.

Н яхай дадзена . Разгледзім на плоскасці пункт і прамень з пачаткам у п , і возьмем на плоскасці некаторы адвольны п . І няхай - даўжыня адрэзка , і будзем лічыць даўжыню са знакам “+”, калі калі накірунак супадае з , і са знакам “-”, калі не супадае.

Азначэнне. Калі існуе канечны

(1)

пры ўмове, што па промню , то ён называецца вытворнай функцыі f у накірунку у п і абазначаецца .

Заўвага. Частковая вытворная ф f паказвае іх хуткасць змянення ф у накірунку каардынатнай восі. Вытворная ў накірунку паказвае хуткасць змянення ф f у накірунку у п . У прыватнасці, частковую вытворную можна разглядаць як вытворная ў накірунку каардынатных восяў.

Існаванне і вылічэнне вытворнай у накірунку.

Тэарэма. Калі ф мае ў п непарыўную частковую вытворную, то ў п уснуе вытворная па любому накірунку , прычым яна вылічваецца па формуле , дзе , - кіроўныя косінусы вектара .

Д-з. Няхай вектар утварае з восямі каардынат вуглы і , абазначым

=t, тады (2)

Такім чынам, уздоўж , каардынаты (x,y) можна разгледзіць як ф зменнай t, а ф - як складаную ф . Пры гэтым п адпавядае значэнню t=0, .

Т ч, = = .

Т ч, вытворная ў накірунку існуе, калі бедзе існаваць вытворная ф f(t), . Але гэта вытворная будзе сапраўды існаваць пры зададзеных умовах на складаную ф .

.

12. Вытворная ў накірунку. Градыент.

Азначэнне. Калі існуе канечны (1) пры ўмове, што па промню , то ён называецца вытворнай функцыі f у накірунку у п і абазначаецца .

Азначэнне. Градыентам ф называецца вектар, праекцыі якога на каардынатныя восі супадаюць з адпаведнымі частковымі вытворнымі ф f.

.

Возьмем адзінкавы вектар якога-небудзь накірунку м вылічым скалярны здабытак

З другога боку, адзінкавы вектар мае каардынаты , а . Па гэтаму з другога боку, .

Т ч, атрымалі .

Вынік. Вытворная ф у накірунку бедзе найбольшая па велічыне, калі . Г зн, калі накірунак супадае з накірункам градыента. Т ч, градыент ф паказвае накірунак найбольш хуткага нарастання ф.

13.Неяуныя функцыі.Тэарэма аб існаванні няяўнай функцыі.

Нях. дадзена раўнанне выгляду F(x,y)=0 (1). Злева у р-ни (1) маем ф-ю 2-х зменных и няхай яна зададзена на нек-м прамавугольнику ABCD [a,b,c,d]-границы. Кали для любога x з адрэзку [a,b] иснуе адно значэнне у з адрэзку [c,d] якое разам з х здавальняе р-ню (1), то гавораць, что р-не (1) вызначае ф-ю y=y(x) на [a,b]. У гэтым выпадку личацца, штор –не (1) не вырашана адносна у вызнач няяуную ф-ю y=y(x) у прамавуг ABCD. Пры падстаноуцы у(х) у р-ць (1) атрымаем тоеснасть.

F(x,y(x)) . Т.ч. ф-я y=y(x) з’яуляецца неяунай кали яна зададзена пры дапамозе невырашальнай адносна у раун-я (1). Яна становицца яунай, кали разгляд непасрэдную залежнасть y(x)

Азн. Нях дадзены п.(x,y) пл-ци .Няхай е-наваколле гэтага пункта и нях. мн-ва пунктау гэтага наваколля здавальняе раўнанню F(x,y)>0 , ф-я у(х) зададзена у некаторым наваколли п. х наз. неяунай ф-яй адпавядаючай р-ню F(x,y)=0, кали п. х з гэтага наваколля мае месца р-ць F(x,y(x))=0

Прыклад 1: (неяуная)

Гэта раунане задае бясконцае мно-ва ф-й выражаных (вызначаных) на розных прамежках адр [-1,1]

Тэарэма (Аб иснаванни и дыферанцавальнасци неяунай фун-ии)

Нях дадзена р-не F(x,y)=0 (1) и ф-ия F(x,y) здавальняе наступным умовам:

1.F(x,y), F’x(x,y), F’y(x,y) вызначаны и зъяуляецца непарыуными у прамавугольнику [x0-a,x0+a,y0-b,y0+b]

2.F(x0,y0)=0

3.F’y(x0,y0)!=0

Тады справядливыя наступныя сцвярджэнни: а)у некат-м наваколли п (x0,y0) раунанне (1) вызначае ф-ю у=у(х) б)у(х0)=у0 в)ф-я y=y(x) зэяуляецц непар на интэрвале (x0- , x0+ )

г)ф-я у=у(х) мае непарыуную вытворную на (x0- x0+ )

Доказ:

а)иснаванне неяунай ф-и т.як па умове Т3 F’y(x0,y0)!=0, то для пэунасци будзем личыть, I F’y(x0,y0)>0 па умове (1) Т-мы ф-я F’y(x,y)-непарыуная на-гэтаму будзе иснаваць нек-е прамавугольн [x0- y0- , y0+ ] у яким будзе выконвацца F’y(x,y)>0 (2)

будзем рухацца на вертыкали AB пры гэтым x=x0, а у будзе меняцца ад y0- тады па прымеце нарастання ф-и адной зменнай ф-я F(x0,y) будзе нарастаць т.як па умове (2) F(x0,y0)=0 то=> што

F(x0,y0- )<0 (3)

F(x0,y0+ )<0 (4)

Будзем рухацца па гарызантали якая праход праз п. А, пры гэтым y=y0- .Тады ф-я адной зменнай F(x, y0- ) у пункце М0 будзе прымаць адмоунае зн-нне на (3).

Т.к. по умове (1) ф-я F(x,y)-непарыуная то будзе иснаваць наваколле п х0 у яким яна будзе прымаць тольки адмоуныя зн-ни напрыклад (x0- , x0+ )

Цяпер мы будзем рухацца па гарызантали праз п. B пры гэтым y=y0+ Аналагич разважаннями атрымаем, што иснуе наваколле п-ту (x0- , x0+ ) у яким ф-я F(x,y+ ). Прымае тольки дадатныя зн-ни. Адзначым на мал (x0- , x0+ )

Разгл минимальны

Тады =>	F(x0,y0- )<0	(5)
	F(x,y0+ )>0

Разгл п-т и будзем змяняць у ад y0- <y<y0+ пры гэтым ф-я F( ,y) па умове т. Непарыунасци, а значыць непарыунай будзе и ф-я адной зменнай адносна y прычым зн-нне гэтай ф-и на канцах адр [y0- y0+ ] маюць розныя знаки. Значыць по Т. Пашы иснуе такое зн-не , што F(x, )=0 дзе .

Т.ч. мы даказали што иснуе яки разам з х здавальняе р-ню F(x,y)=0 гэта азначае, што у наваколли пункту

вызначае неяуную ф-ю y=y(x)

б) т.як y0 гэта тое зн-не зменнай у(адзинае по даказанаму вышэй).пры яким F(x0,y0)=0, то y0 I есць зн-ни неяунай ф-и у п-це x0 г.зн. што y(x0)=y0 па азначэнню.

в)непарыунасць неяунай ф-и.

Для доказу непарыунай ф-и y=y(x) будзем карыст азн. непарыун праз прыросты.

!	Бясконца малы прырост аргумента адпавядае, бясконца малы прырост функцыи-наз. Непарыун ф-я.

Нададзим x прырост , прырост неяунай ф-и

Т.я. F(x,y)=0, то

Пераутварым гэту роун-ць.

Дзе .

То (6)

Па умове Т1. Ф-я F’x-непарыуная па-гэтаму на пабудаваным вышэй прамавугольнику яна будзе абмежавана г.зн.

Па умове т. П-ту 1) ф-я F’y таксама непарыуна па Т. вышэй была атрымана, што F’y(x,y)>0 па-гэтаму ф-я F’y будзе найменш зн-нне m и яно будзе дадатным.З гэтых разважанняу и з няр-ци (6)

=>ф-я y=y(x)-непарыуная

г)дыферанцавальнасць(иснаванне некатор вытворнай)

Нях ф-и F’x I F’y непарыуная, то

. Тады з роун-ци (6) атрымаем

Адсюль выникае, што вытворн иснуе па док-му у п-це в) ф-я y=y(x) непарыу-я ф-и F’x I F’y таксама непарыуная знач па Т.(аб непарыу склад ф-и) непары-ми будуць ф-и F’x(x,y(x)) F’y(x,y(x)). Па умове 3) тэарэм назоуник у апошяй роунасци !=0 на интэрвале ( ) па гэтаму дроб з’яул непар-й ф-й змешанай x =>што и вытворная непарыун-я [x]. ))

Заувага1: Можна ставиць пытанне аб иснаванни неяун ф-и x=x(y) вызначаныя р-нем 0 у гэтым выпадку у фармулироуцы Т. Змяниць умову г.зн трэба патрабаць кааб F’x(x0,y0)!=0. Кали адбываецца штро у п-це (x0,y0)

F’x(x0,y0)=F’y(x0,y0)=0 Т. Нельга фармуляваць и нельга сцвяржаць.

Заувага2.Р-не F(x,y)=0(1) можна разгляд як раунанне некат крывой на пл-ци и усяки пункт у яким выконваецца F’x(x0,y0)=F’y(x0,y0)=0 наз асобым пунктам гэтай крывой.

Заувага 3:

Пры доказе Т. Была атрымана формулир вылич. Вытворнай неяунай функции.