3. Модели структуры потоков для технологических объектов.

Процессы переноса массы в движущихся средах могут быть выполнены на основе уравнения Навье-Стокса, однако уравнения при этом получаются слишком сложными и не пригодными для анализа получаемых математических описаний. Поэтому на практике получили распространение упрощенные модели структуры потоков. Начнем рассмотрение с модели идеального перемешивания.

3.1 Модель идеального перемешивания.

На рис.3.1.1 представлена схема аппарата идеального

перемешивания.

Рис.3.1.1. Схема аппарата идеального перемешивания.

Аппарат идеального смешения характеризуется тем, что интенсивность перемешивания в нем настолько велика, что поступающее с потоком вещество мгновенно распространяется по всему объему аппарата и появляется в выходном потоке. Таким образом, в таком аппарате любое возмущение на входе мгновенно появляется на выходе. Составим для такого аппарата уравнение материального баланса при следующих условиях:

1. Объемный расход жидкости постоянный.

2. Объем жидкости в аппарате постоянный.

3. Концентрация индикаторного вещества (трассера) на выходе из аппарата, равна концентрации его в аппарате (условия идеального смешения).

4. В аппарате соблюдаются условия квазистационарности – изменение концентрации во входном потоке происходит медленнее, чем устанавливается равномерное распределение вещества по всему объему.

Составим уравнение материального баланса вещества для этого аппарата.

Входной поток вещества будет равен

J_М,вх(t)=vc_вх(t) (3.1.1)

Выходной поток вещества будет равен:

J_М,вых(t)=vc_вых(t) (3.1.2.)

Накопление вещества в аппарате за время от 0 до t, будет равно

(3.1.3)

Продифференцируем уравнение (3.1.3) по времени с учетом того, что масса вещества в аппарате будет равна произведению концентрации на объем аппарата, и используем для потоков выражения (3.1.1) и (3.1.2):

(3.1.4)

Где V_r – объем аппарата в м³.

Учитывая, что в начальный момент времени концентрации в аппарате была постоянной величиной, разделим обе части уравнения (3.1.4) на объемный расход смеси v и перенесем второе слагаемое правой части в левую часть. В итоге получим следующее уравнение:

(3.1.5)

Где - среднее время пребывания смеси в аппарате, [c.], t-текущее время, [c].

Полученное дифференциальное уравнение (3.1.5) представляет собой математическую модель аппарата идеального перемешивания. Для того чтобы узнать, как изменяется с_вых(t), необходимо решить уравнение (3.1.5) при заданной функции с_вх(t) (внешнее воздействие).

В качестве типовых внешних воздействий при анализе поведения объектов чаще всего используют следующие виды воздействий:

• Ступенчатое воздействие с_вх(t)= А=const

• Импульсное воздействие с_вх(t)=(t)-функция Дирака.

• Синусоидальное воздействие с_вх(t)=C₀ sin(t)

Рассмотрим решение уравнения (3.1.5) при ступенчатом входном воздействии. Тогда уравнение (3.1.5) принимает вид:

(3.1.6)

Уравнение (3.1.6) можно решить разделением переменных. Для этого разделим обе части уравнения (3.1.6) на величину времени контакта t_ср и произведем операцию разделения переменных. В результате получим уравнение в полных дифференциалах:

(3.1.7)

После интегрирования уравнения (3.1.7) получаем:

(3.1.8)

Где В – постоянная интегрирования, которая может быть определена из начальных условий: при t=0 c_вых(t) = 0. Отсюда получаем, что -ln(A)=ln(B).

Подставляя найденное значение произвольной постоянной в уравнение (4.1.8), получим:

(3.1.9)

После потенцирования окончательно получим

(3.1.10)

На рис.3.1.2 представлен график изменения выходной концентрации при воздействии на вход единичного ступенчатого возмущения. Если в уравнении (3.1.10) принять t=t_ср, тогда получим:

(3.1.11)

Полученное значение свидетельствует о том, что среднее время пребывания в аппарате идеального перемешивания есть время, в течение которого выходной параметр с_вых(t) изменится на 63.25% от величины нанесенного на объект возмущения..

Рис.3.1.2 . Кривая разгона аппарата идеального перемешивания на ступенчатое единичное возмущение входа.

Среднее время пребывания t_ср является параметром модели аппарата идеального перемешивания, Модель аппарат идеального перемешивания применяется для аппаратов, у которых обеспечиваются условия интенсивного перемешивания, и время смешения много меньше среднего времени пребывания вещества в аппарате. Cреднее время пребывания может быть определено из экспериментально полученной кривой разгона следующим образом: Если прологарифмировать уравнение (3.10), мы получим уравнение

Это уравнение представляет собой уравнение прямой в координатах

. При этом тангенс угла наклона этой прямой есть величина, обратная времени пребывания. На следующем рисунке представлена графическая зависимость для определения среднего времени пребывания по экспериментальной кривой разгона.

Рис.3.1.3. Определение времени пребывания по кривой разгона.

Отклик аппарата идеального перемешивания на импульсное возмущение, подаваемое на вход .

На рисунке показано изменение во времени входной концентрации, подаваемой на вход аппарата в виде единичного импульса

График изменения С – кривой показан на рис.3.1.3.

Р ис.3.1.3а. Зависимость входной концентрации от времени

На выходе концентрация будет изменяться следующим образом:

Рис3.1.3.б. Зависимость выходной концентрации от времени.

Таким образом, по характеру изменения выходной концентрации при подаче возмущений на вход аппарата, можно определить тип структуры потока, описывающего перенос массы движущимся потоком жидкости.

Раздел 3.2 .Модель идеального вытеснения.

Рассмотрим теперь модель аппарата полного, или идеального вытеснения.

В отличие от предыдущей модели, основным постулатом этой модели является допущение о том, что в направлении потока жидкость не перемешивается, в то время как в поперечном направлении жидкость перемешана полностью. При таких допущениях жидкость в аппарате движется подобно поршню, при этом каждый последующий слой вытесняется предыдущим. Поэтому эту модель называют еще моделью поршневого потока. В англоязычной литературе эта модель называется plug flow model. Схема аппарата представлена на рис.3.2.1.

Рис.3.2.1 Схема аппарата идеального вытеснения.

– длина и площадь поперечного сечения аппарата,

- концентрация на входе и выходе из аппарата,

- объемный расход смеси на входе и выходе из аппарата.

Выделим в аппарате элементарный объем и составим для него уравнение материального баланса, обозначив концентрацию в элементарном объеме через с_j, концентрацию на входе в слой через с_j-1, а концентрацию на выходе из объема через с_j+1. Накопление массы в рассматриваемом объеме будет равно интегралу от разности потоков, входящих и выходящих из рассматриваемого объема:

(3.2.1)

Продифференцируем обе части уравнения (3.2.1) по времени и разделим на величину рассматриваемого объема . И рассмотрев предел уравнения при l0, получим уравнение модели идеального вытеснения в следующем виде:

(3.2.2)

Где - линейная скорость, м/с.

Эта модель представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, потому что переменная величина изменяется в пространстве и времени. В уравнение (3.2.2) введем безразмерную пространственную координату  следующим образом:

Полученное значение производной поставим в уравнение (3.2.2) и получим математическую модель в следующем виде:

(3.2.3)

Где - время пребывания смеси в аппарате.

В аппарате с такой структурой потока поступающие на его вход возмущения проходят через аппарат без искажения, попадая на выход через время, равное времени чистого запаздывания, определяемое как время пребывания смеси в аппарате.

На следующем рисунке показан характер прохождения возмущений через аппарат идеального вытеснения при различной форме входных возмущений..

Рис.3.2.2. Кривые отклика аппарата идеального вытеснения на импульсное возмущение, а) – изменение входной концентрации, б) изменение выходной концентрации, t_з – время пребывания смеси в аппарате

Рис.3.2.6. Кривые отклика аппарата идеального вытеснения на ступенчатое возмущение, а) – изменение входной концентрации, б) изменение выходной концентрации, t_з – время пребывания смеси в аппарате

Модель аппарата идеального вытеснения может быть использована для описания работы аппаратов, работающих по принципу вытеснения – колонные и трубчатые аппараты, теплообменники. Применение модели к описанию потоков в технологических аппаратах связывают с величиной отношения длины аппарата к его диаметру. При L/d >20 (d- диаметр аппарата) и числе Рейнольдса

Re>2300 продольное перемешивание незначительно, а турбулентное движение обеспечивает равномерно распределение концентрации по поперечному сечению аппарата. Таким образом, в этих условиях выполняются основные допущения, лежащие в основе модели идеального вытеснения.