2. Постановка и решение задачи аппроксимации ких-цепей.

Выражение (2.2) называют линейной свёрткой двух временных последовательностей x(n) и h(n).

Пусть импульсная характеристика цепи принимает отличные от нуля значения на интервале от –N/2 до +N/2.

Тогда свёртка (2.2) принимает следующий вид:

Оператор (2.3) является абсолютно устойчивым, но физически нереализуем.

Однако переход к физически реализуемой цепи легко выполнить путём простой задержки импульсной характеристики на половину её длины.

где

Отметим, что физически реализуемая цепь (КИХ-цепь) всегда вносит задержку на половину длины импульсной характеристики (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Задержка импульсной характеристики на половину её длины.

Это является главным недостатком КИХ-цепи. Также отметим, что, если по алгоритму (2.3) реализуется фазовый фильтр с нулевой фазовой характеристикой, то для реализуемой цепи (2.4) фазовая характеристика является линейной.

Встаёт вопрос: Как можно связать описанный выше класс цифровых цепей с пространством строго воспроизводимых функций передачи H_B(jω)?

Установлено, что для линейных инвариантных к сдвигу ЦЦ импульсная характеристика цепи и воспроизводимая функция передачи H(jω) связаны друг с другом прямым и обратным преобразованием Фурье.

Соответственно для класса КИХ-цепей N-го порядка соответствующие преобразования принимают следующий вид

Для ЦЦ с линейной ФЧХ импульсная характеристика h(n) является симметричной, т.е. выполняется условие вида

h(-n) = h(n) для всех

Если учесть это в (2.5), приходим к выражению вида

^{– тригонометрический полином.}

4. Z-преобразование и его свойства

Пусть x(n) – некоторая временная последовательность, в общем случае заданная при всех Тогда преобразование вида

Z-преобразование, где z – комплексная переменная. X(z) – Z-образ последовательности x(n).

Имеет место обратное Z-преобразование

Свойства Z-преобразований

1. Линейность

Если тогда

2. Задержка

3. Свёртка

Пусть

Установим связь между Z-образом выходного сигнала , Z-образом входного сигнала и Z-образом импульсной характеристики .

Найдём Z-преобразование левой и правой части свёртки, используя свойства линейности и задержки, установленные выше.

Используя и меняя порядок суммирования, получим

Отсюда следует

Таким образом, получим:

Здесь H(z) определяет преобразование Z-образа X(z) входного сигнала при его прохождении через цифровую цепь. H(z) называют передаточной или системной функцией цепи.

Установлено, что между передаточной функцией H(z) и комплексной частотной характеристикой H(jω) имеет место простая связь.

Таким образом, выполнив подстановку вида , получим:

Примеры вычисления Z-преобразований.

1. 

2. 

Последнее выражение показывает, что геометрическая прогрессия сходится, и существует Z-образ x(n), если модуль . Иначе говоря, областью сходимости является единичный круг.

Дискретное преобразование Фурье и его свойства

Пусть x(n) – временная последовательность, которая задана на интервале . Тогда преобразование вида

На рисунке 2.38 представлен общий вид базисных функций ДПФ для дискретных частот при k = 1, 2 и 3. Из представленного рисунка следует, что временные отсчёты всех базисных функций при могут быть получены из основной функции (k=1) путем прореживания с коэффициентом децимации υ=k, пропорциональным сжатием и периодическим продолжением.

Рис. 2.38. Временные последовательности sin(2πkn/N).

Отметим, что в соответствии с (2.44), для выполнения N-точечного ДПФ требуется N² операций умножения и накопления.

Свойства ДПФ:

1. Линейность

2. Задержка

3. Симметрия

4. Круговая свёртка дискретных спектров

ДПФ круговой свёртки последовательностей x^*(n) и h(n) определяется произведением ДПФ сворачиваемых последовательностей:

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ)

Пусть ДПФ принимает вид

Представим данную сумму произведений, как две суммы: одна для чётных n, другая для нечётных n:

Заменяя индексы суммирования на n=2r – для четных и n=2r+1 – для нечетных n, получим

Заметим, что

Тогда

Следовательно,

Отметим, что для всех соответствующие коэффициенты Фурье X₁(k), X₂(k) получаются путём их периодического продолжения.

В соответствии с выражением (2.45) для вычисления N-точечного ДПФ требуется операций.

Используя данную процедуру разбиения отсчётов на чётные и нечётные, можно показать, что для получения полного N-точечного ДПФ необходимо log₂N итераций, каждая из которых требует N операций умножения с накоплением. Таким образом общие затраты составят N*log₂N.

Рассмотрим граф преобразования (2.45) для размерности N=8 (рис. 2.39).

Рис. 2.39. Графическое отображение алгоритма (2.45) и варианты выполнения операции “бабочка”.

Слева представлено графическое отображение алгоритма, справа – варианты выполнения операции «бабочка».

Представленный граф наглядно отображает алгоритм вычислений, при котором для вычисления N-точечного ДПФ необходимо log₂N итераций, каждая из которых требует N/2 операций «бабочка».

Поскольку каждая операция «бабочка» в представленном виде требует две операции умножения, то общее число операций будет N*log₂N. Оценим эффективность алгоритма БПФ как отношение числа операций обычного ДПФ к числу операций заданного алгоритма.

Можно показать, что имеет место следующая связь между комплексными коэффициентами операции «бабочка»

Это позволяет сократить число операций в 2 раза, т.о.