8. Полифазная форма

Пусть

Сгруппируем отсчёты импульсной характеристики h(n) как совокупность чётных и нечётных. Тогда

Это можно представить как:

Таким образом, общая структура фильтра может быть представлена в следующем виде (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Структурная схема двухфазной формы узкополосного фильтра.

Это пример двухфазной реализации.

Используем данное представление для описания фильтра-дециматора с понижением частоты дискретизации в 2 раза (рис. 3.17).

Рис. 3.17. Структурная схема двухфазной формы реализации фильтра-дециматора с понижением частоты дискретизации в 2 раза на выходе.

Перенеся элемент децимации с выхода на вход, получим (рис. 3.18):

Рис. 3.18. Структурная схема двухфазной формы реализации фильтра-дециматора с понижением частоты дискретизации в 2 раза на входе.

Разбивая аналогично входную последовательность X(nT₁) на υ групп, передаточную функцию H(z) можно представить в следующем виде:

При этом υ-фазная форма фильтра-дециматора принимает следующий вид (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Структурная схема υ-фазной формы реализации фильтра-дециматора.

Отметим, что каждый «фазный» фильтр работает на пониженной в υ раз частоте дискретизации и имеет порядок N/υ.

9.Параллельная форма фильтра-дециматора

В рамках параллельной формы предполагается, что вместо памяти входных данных используется память вычисляемых выходных данных. А так как выходные данные прореживаются, то это позволяет сократить память данных в υ раз (рис. 3.20).

Рис. 3.20. Структурная схема параллельной формы реализации фильтра-дециматора.

В рамках данной структуры отсчёты входного сигнала X(nT₁) умножаются на множество из k=N/υ отсчётов импульсных характеристик на периоде дискретизации T₁, и полученные произведения последовательно добавляются к k регистрам-аккумуляторам, на которых накапливается сумма произведений длительностью nT₁. Поскольку начала накопления сдвинуты относительно друг друга на υ отсчётов, то выходные результаты считываются с интервалом υT₁=T₂, что соответствует последовательному переключению ключа от накопителя к накопителю. Отметим, что отсчёты импульсной характеристики i-го фильтра-накопителя:

В заключении рассмотрим циклограмму параллельной работы накопителей-аккумуляторов (рис. 3.21).

Рис. 3.21. Циклограмма параллельной работы накопителей-аккумуляторов.

Главное преимущество данной схемы – уменьшение памяти данных в υ раз. Вместе с тем необходимо отметить, что внешняя память заменяется на регистры-аккумуляторы, на которых происходит накопление результатов умножения. А следовательно, такая форма неэффективна на сигнальных процессорах, которые работают на 1-2 аккумуляторах. Однако при реализации на ПЛИС и на микроконтроллерах этот недостаток исключается.

10. Многоступенчатая реализация узкополос фил на основе многоскорос обр. Методы синтеза многоступенчатых структур узкополосного фильтра

1. Метод Мориса Белланже

Идея метода заключается в каскадном включении предельно простых фильтров-дециматоров и интерполяторов, каждый из которых повышает и понижает частоту дискретизации в 2 раза.

Пусть коэффициент децимации υ=2^k, тогда общая структура узкополосного фильтра принимает следующий вид (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Структурная схема узкополосного фильтра по методу Мориса Белланже.

На каждой ступени преобразования частота дискретизации повышается или понижается в 2 раза. Оценим вычислительные затраты и память данных на реализацию многоступенчатой структуры узкополосного фильтра по отношению к эквивалентному фильтру N-го порядка, реализуемому прямым способом (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Эквивалентный фильтр N-го порядка.

Приведённые вычислительные затраты:

и затраты памяти данных

где N₀=N/υ – порядок формирующего фильтра.

Найдём выражение для оценки порядка первого фильтра-дециматора N₁.

Рис. 3.13.

Если то , а значит .

Заметим, что для каждого последующего фильтра его порядок , практически совпадает с N_i=N₁, т.к. на каждой последующей ступени показатель АЧХ увеличивается в 2 раза, но при этом в 2 раза уменьшается показатель узкополосности β. Таким образом оценки вычислительных затрат и памяти данных принимают следующий вид:

Недостатки:

1. Полученное решение не является оптимальным с позиции вычислительных затрат и памяти данных, особенно если υ_доп существенно отлично от степени двойки.

2. С увеличением числа ступеней увеличивается неравномерность АЧХ в полосе пропускания. Поэтому для каждого i-го фильтра ε_1доп должно определятся как ε_1доп/k, где k – число ступеней:

Полуполосные фильтры

Полуполосный фильтр представляет собой КИХ-фильтр, чётные отсчёты импульсные характеристики которого принимают нулевые значения, кроме n≠0.

При этом нечётные отсчёты отличны от нуля. Полуполосный фильтр обладает следующими свойствами:

1. Затраты на его реализацию потенциально уменьшаются в 2 раза.

2. Передаточная функция H(z) отвечает равенству вида H(z)+ H(-z)=1.

Если , то , но (рис. 3.14).

Рис. 3.14. АЧХ полуполосного фильтра

Заметим, что для полуполосного фильтра точность воспроизведения частотной характеристики в полосе пропускания ε₁ полностью определяется заданной точностью восстановления ε₂ в зоне непрозрачности (ε_2доп<<ε_1доп).

Вывод: полуполосный фильтр является идеальным инструментом для многоступенчатой реализации фильтра с повышением и понижением частоты дискретизации на каждой ступени в 2 раза.