Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральных функции и применяя свойства неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Пример. Найти неопределенный интеграл

Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель и используя свойства неопределенного интеграла по таблице находим:

Пример. Найти неопределенный интеграл

Решение. Раскроем скобки и по таблице находим интеграл:

Пример. Найти интеграл

Решение. Так как

Пример. Найти интеграл

Решение.

Пример. Найти интеграл

Решение. Преобразуем числитель подынтегральной функции отняв и прибавив единицу:

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).

Интегрирование путем введения новой переменной основано на формуле:

где - дифференцируемая функция переменной t.

Пример. Найти неопределенный интеграл

Решение. Положим тогда 2xdx=dt, т.е. Подставим полученные значения в подынтегральное выражение, получим

Пример. Найти неопределенный интеграл

Решение. Избавимся от иррациональности в подынтегральной функции:

подставляя в интегральное выражение, получим:

Пример. Найти

Решение. Введем новую переменную

Пример. Найти интеграл

Решение. В случае, когда подынтегральное выражение содержит , целесообразно применять тригонометрическую подставку Применим подставку , откуда поэтому:

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям основано на формуле:

-дифференцируемые функции от х.

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.

В качестве u обычно выбирают функцию, которая упрощается дифференцированием, в качестве - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая , из которой можно определить путем интегрирования.

В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному формула (*) применяется несколько раз. Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.

Пример. Найти

Решение. Обозначим

Используя формулу интеграл запишем в виде

Пример. Найти интеграл

Решение.

Пример. Найти интеграл

Решение.

Полученный интеграл еще раз интегрируем по частям:

, получим:

Интегрирование некоторых функций содержащих квадратный трехчлен.

Интеграл вида путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата сводится к одному из двух интегралов:

Интеграл вида сводится к одному из интегралов:

Интеграл вида сводится к одному из двух интегралов:

Пример. Найти интеграл

Решение. Дополним квадратный трехчлен до полного квадрата и интегрируя получим:

Пример. Найти интеграл

Решение. Дополним квадратный трехчлен до полного квадрата и воспользуемся формулой:

Пример. Найти интеграл

Решение.