§ Степенные ряды

Степенным рядом, называется функциональный ряд вида

- действительные числа, называемые коэффициентами ряда.

При степенной ряд принимает вид

Степенной ряд (*) всегда сходится по крайней мере в точке х = 0.

Теорема Абеля: если степенной ряд (*) сходится при то он сходится абсолютно при всех х, удовлетворяющих условию Если же ряд расходится при то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию

Радиусом сходимости, степенного ряда (*) называется неотрицательное число R, такое, что при ряд сходится, а при расходится. Интервал (-R; R ) называется интервалом сходимости ряда.

Если степенной ряд (*) сходится на всей числовой оси, то , если он сходится только при х = 0, то R = 0.

Радиус сходимости вычисляется по формуле

На концах интервала сходимости, т.е. при х = -R, х = R, ряд может либо сходится, либо расходится. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда отдельно.

Пример. Найти область сходимости ряда

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда.

Имеем:

Значит, (-3; 3) – интервал сходимости.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При х = -3 получим числовой ряд который сходится (обобщенный гармонический ряд). Следовательно, область сходимости данного степенного ряда - отрезок [-3; 3].

Пример. Найти область сходимости

Решение. Сделаем замену х+1 = у, тогда исходный ряд примет вид Найдем его радиус и интервал сходимости: т.е. R = 1 и (-1; 1) - интервал сходимости.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При получим числовой ряд который сходится по признаку Лейбница; при у = 1 – числовой ряд который расходится по второму признаку сравнения (сравниваем его с расходящимся обобщенным гармоническим рядом ). Таким образом, областью сходимости ряда является промежуток .

Так как у = х+1, получим т.е. область сходимости данного ряда – полуинтервал .

§ Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.

Если функция f(x) в некоторой окрестности точки имеет производные любых порядков, то степенной ряд

называется рядом Тейлора функции f(x) в точке . Если то ряд называется рядом Маклорена.

Разложения в степенной ряд (ряд Маклорена) некоторых элементарных функций:

последнее разложение имеет место при любом действительном числе m, если -1<х<1.

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Имеем Воспользуемся разложением функции ln(1+x). Тогда Следовательно,

§ Применение рядов в приближенных вычислениях

Пример. С точностью до 0,001 вычислить ln 1, 2.

Решение. В разложении функции ln(1+x) в ряд Маклорена положим х = 0,2. Получим

А бсолютная величина четвертого члена этого ряда меньше 0,001, поэтому достаточно взять сумму трех первых членов:

Пример. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение. Неопределенный интеграл не выражается в элементарных функциях, поэтому при вычислении данного определенного интеграла

формулу Ньютона-Лейбница применить нельзя. Воспользуемся разложением функции sin x в ряд Маклорена:

Так как для вычисления интеграла с заданной точностью нужно взять три первых члена разложения: